Основные законы распределений

Основные законы распределения случайных величин

Нормальное распределение

Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон распределения с параметрами а и а, если ее плотность вероятности /(*) имеет вид

(2.20)

Кривая нормального распределения /(*) (нормальная кривая, или кривая Гаусса) приведена на рис. 2.1.

Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами а = 0 и а = 1 называется стандартным или нормированным, а соответствующая нормальная кривая – стандартной или нормированной.

Математическое ожидание случайной величины X, распределенной по нормальному закону, равно параметру а этого закона, а ее дисперсия – квадрату параметра σ, т. е.

Рис. 2.1. Кривая нормального распределения

Наиболее важные свойства случайной величины, распределенной

по нормальному закону:

1. Вероятность попадания случайной величины в интервал

(2.21)

где

2. Вероятность того, что отклонение случайной величины X, распределенной по нормальному закону, от математического ожидания а не превысит по абсолютной величине величину‘, равна:

(2.22)

где

3. «Правило трех сигм». Если случайная величина X распределена нормально (с параметрами а и ст), то практически достоверно, что абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения, т. е.

(2.23)

4. Если случайная величина X имеет нормальный закон распределения с параметрами а и, то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале

5. Коэффициент асимметрии и эксцесс нормально распределенной случайной величины равны нулю [18].

Нормальный закон распределения наиболее часто встречается на практике. Главная особенность, выделяющая его среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы при весьма часто встречающихся типичных условиях.

Случайные величины и законы распределения

Переменная величина называется случайной, если в результате опыта она может принимать действительные значения с определёнными вероятностями. Наиболее полной, исчерпывающей характеристикой случайной величины является закон распределения. Закон распределения – функция (таблица, график, формула), позволяющая определять вероятность того, что случайная величина Х принимает определеное значение х i или попадает в некоторый интервал. Если случайная величина имеет данный закон распределения, то говорят, что она распределена по этому закону или подчиняется этому закону распределения.

Случайная величина Х называется дискретной, если существует такая неотрицательная функция

(1)

которая ставит в соответствие значению х i переменной Х вероятность р i , с которой она принимает это значение.

Случайная величина Х называется непрерывной, если для любых a

Предметы: математика (ЕГЭ), английский язык (GMAT, GRE (general), GRE subject test in maths, IELTS, TOEFL, BEC).

Стоимость: 1200 руб / 60 мин.

Предметы: математика, физика.

Стоимость: 3500 руб / 90 мин.

Предметы: английский язык, (ЕГЭ). Подготовка к TOEFL и IELTS.

Геометрическое распределение случайной величины имеет следующий вид:

Из таблицы видно, что с увеличением числа m, вероятность того, что будет обнаружен бракованный блок, снижается. Последняя строчка (m=10) объединяет две вероятности: 1 — что десятый блок оказался неисправным — 0,038742049 , 2 — что все проверяемые блоки оказались исправными — 0,34867844. Так как вероятность того, что блок окажется неисправным относительно низкая (р=0,1), то вероятность последнего события P m (10 проверенных блоков) относительно высокая. Рис.2.

Например, в среднем за день в компанию по продаже телевизоров поступает около 100 звонков. Вероятность заказа телевизора марки А равна 0,08; B — 0,06 и C — 0,04. Составить закон распределения заказов на покупку телевизоров марок А,В и С. Построить полигон распределения вероятностей.

Из условия имеем: m=100, λ 1 =8, λ 2 =6, λ 3 =4 ( ≤10 )

(таблица дана не полностью)

Если n достаточно большое и стремится к бесконечности, а значение p стремится к нулю, так что произведение np стремится к постоянному числу, то данный закон является приближением к биномиальному закону распределения. Из графика видно, что чем больше вероятность р, тем ближе кривая расположена к оси m, т.е. более пологая. (Рис.4)

Если плотность вероятности ϕ(х) есть величина постоянная на определенном промежутке [a,b], то закон распределения называется равномерным. На рис.5 изображены графики функции распределения вероятностей и плотность вероятности равномерного закона распределения.

Среди законов распределения непрерывных случайных величин наиболее распрастраненным является нормальный закон распределения. Случайная величина распределена по нормальному закону распределения, если ее плотность вероятности имеет вид:

График плотности вероятности случайной величины, имеющей нормальный закон распределения, симметричен относительно прямой х=а, т.е х равному математическому ожиданию. Таким образом, если х=а, то кривая имеет максимум равный:

При изменении величины математического ожидания кривая будет смещаться вдоль оси Ох. На графике (Рис.6) видно, что при х=3 кривая имеет максимум, т.к. математическое ожидание равно 3. Если математическое ожидание примет другое значение, например а=6, то кривая будет иметь максимум при х=6. Говоря о среднем квадратическом отклонении, как можно увидеть из графика, чем больше среднее квадратическое отклонение, тем меньше максимальное значение плотности вероятности случайной величины.

Функция, которая выражает распределение случайной величины на интервале (-∞,х), и имеющая нормальный закон распределения, выражается через функцию Лапласа по следующей формуле:

Т.е. вероятность случайной величины Х состоит из двух частей: вероятности где x принимает значения от минус бесконечности до а, равная 0,5 и вторая часть — от а до х. (Рис.7)

Основные законы распределения

Репетитор: Васильев Алексей Александрович

Предметы: математика, физика, информатика, экономика.

Стоимость: 2000 руб / 90 мин.

Репетитор: Крюков Илья Хассанович

Предметы: математика, экономика, бухгалтерский учет.

Стоимость: 2000 руб / 90 мин.

Репетитор: Скрипаленко Михаил Михайлович

Репетитор: Матвеева Милада Андреевна

Предметы: русский язык, литература (ЕГЭ, ГИА).

Репетитор: Тверской Василий Борисович

Репетитор: Поздняков Андрей Александрович

Стоимость: 2000 руб / 60 мин.

Репетитор: Ершикова Марина Львовна

Предметы: бухгалтерский учет (кроме банковского), налогообложение, аудит.

Стоимость: 1500 руб / 60 мин.

1.Биномиальный закон распределения.

Биномиальный закон распределения описывает вероятность наступления события А m раз в n независимых испытаниях, при условии, что вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна.

Например, отдел продаж магазина бытовой техники в среднем получает один заказ на покупку телевизоров из 10 звонков. Составить закон распределения вероятностей на покупку m телевизоров. Построить полигон распределения вероятностей.

В таблице m — число заказов, полученных компанией на покупку телевизора. Сn m — число сочетаний m телевизоров по n, p — вероятность наступления события А, т.е. заказа телевизора, q — вероятность не наступления события А, т.е. не заказа телевизора, P m,n — вероятность заказа m телевизоров из n. На рисунке 1 изображен полигон распределения вероятностей.

2.Геометрическое распределение.

P m — вероятность наступления события А в испытание под номером m.
р — вероятность наступления события А в одном испытании.
q = 1 — p

Пример. В компанию по ремонту бытовой техники поступила партия из 10 запасных блоков для стиральных машин. Бывают случаи, что в партии оказывается 1 блок бракованный. Проводится проверка до обнаружения бракованного блока. Необходимо составить закон распределения числа проверенных блоков. Вероятность того, что блок может оказаться бракованным равна 0,1. Построить полигон распределения вероятностей.

3.Гипергеометрическое распределение.

Гипергеометрическое распределение случайной величины имеет следующий вид:

Например, составить закон распределения 7-ми угаданных чисел из 49. В данном примере всего чисел N=49, изъяли n=7 чисел, M — всего чисел, которые обладают заданным свойством, т.е. правильно угаданных чисел, m — число правильно угаданных чисел среди изъятых.

Из таблицы видно, что вероятность угадывания одного числа m=1 выше, чем при m=0. Однако затем вероятность начинает быстро снижаться. Таким образом, вероятность угадывания 4-х чисел уже составляет менее 0,005, а 5-ти ничтожно мала.

4.Закон распределения Пуассона.

Случайная величина Х имеет распределение Пуассона, если закон ее распределения имеет вид:

λ = np = const
n — число испытаний, стремящиеся к бесконечности
p — вероятность наступления события, стремящаяся к нулю
m — число появлений события А

Необходимо отметить, что биномиальный, геометрический, гипергеометрический и закон распределения Пуассона выражают распределение вероятностей дискретной случайной величины.

5.Равномерный закон распределения.

6.Нормальный закон распределения (закон Гаусса).

где
а — математическое ожидание случайной величины
σ — среднее квадратическое отклонение

Основные законы распределений, наиболее употребляемые в социально-экономических приложениях

Теория вероятностей является одним из классических разделов математики. Она имеет длительную историю. Основы этого раздела науки были заложены великими математиками. Назову, например, Ферма, Бернулли, Паскаля. Позднее развитие теории вероятностей определились в работах многих ученых. Большой вклад в теорию вероятностей внесли ученые нашей страны: П.Л.Чебышев, А.М.Ляпунов, А.А.Марков, А.Н.Колмогоров. Вероятностные и статистические методы в настоящее время глубоко проникли в приложения. Они используются в физике, технике, экономке, биологии и медицине. Особенно возросла их роль в связи с развитием вычислительной техники.
Например, для изучения физических явлений производят наблюдения или опыты. Их результаты обычно регистрируют в виде значений некоторых наблюдаемых величин. При повторении опытов мы обнаруживаем разброс их результатов. Например, повторяя измерения одной и той же величины одним и тем же прибором при сохранении определенных условий (температура, влажность и т.п.), мы получаем результаты, которые хоть немного, но все же отличаются друг от друга. Даже многократные измерения не дают возможности точно предсказать результат следующего измерения. В этом смысле говорят, что результат измерения есть величина случайная. Еще более наглядным примером случайной величины может служить номер выигрышного билета в лотерее. Можно привести много других примеров случайных величин. Все же и в мире случайностей обнаруживаются определенные закономерности. Математический аппарат для изучения таких закономерностей и дает теория вероятностей. Таким образом, теория вероятностей занимается математическим анализом случайных событий и связанных с ними случайных величин.

1. Случайные величины

Понятие случайной величины является основным в теории вероятностей и ее приложениях. Случайными величинами, например, являются число выпавших очков при однократном бросании игральной кости, число распавшихся атомов радия за данный промежуток времени, число вызовов на телефонной станции за некоторый промежуток времени, отклонение от номинала некоторого размера детали при правильно налаженном технологическом процессе и т. д.
Таким образом, случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причем заранее известно какое именно.
Случайные величины можно разделить на две категории.
Дискретной случайной величиной называется такая величина, которая в результате опыта может принимать определенные значения с определенной вероятностью, образующие счетное множество (множество, элементы которого могут быть занумерованы).
Это множество может быть как конечным, так и бесконечным.
Например, количество выстрелов до первого попадания в цель является дискретной случайной величиной, т.к. эта величина может принимать и бесконечное, хотя и счетное количество значений.
Непрерывной случайной величиной называется такая величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.
Очевидно, что число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.
Для задания случайной величины недостаточно просто указать ее значение, необходимо также указать вероятность этого значения.

2. Законы распределения случайной величины.

Законом распределения случайной величины называется всякое соответствие между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Про случайную величину говорят, что она подчиняется данному закону распределения. Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит то того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины называются зависимыми. Несколько случайных величин называются взаимно независимыми, если законы распределения любого числа из них не зависит от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

Закон распределения случайной величины может быть задан в виде таблицы, в виде функции распределения, в виде плотности распределения. Таблица, содержащая возможные значения случайной величины и соответствующие вероятности, является простейшей формой задания закона распределения случайной величины:
Табличное задание закона распределения может быть использовано только для дискретной случайной величины с конечным числом возможных значений. Табличная форма задания закона случайной величины называется также рядом распределения.

Для наглядности ряд распределения представляют графически. При графическом изображении в прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладывают все возможные значения случайной величины, а по оси ординат – соответствующие вероятности. Затем строят точки и соединяют их прямолинейными отрезками. Полученная фигура называетсямногоугольником распределения (рис. 5). Следует помнить, что соединение вершин ординат делается только в целях наглядности, так как в промежутках между и,и, и т. д. случайная величиназначений принять не может, поэтому вероятности ее появления в этих промежутках равны нулю.
Многоугольник распределения, как и ряд распределения, является одной из форм задания закона распределения дискретной случайной величины. Они могут иметь самую различную форму, однако все обладают одним общим свойством: сумма ординат вершин многоугольника распределения, представляющая собой сумму вероятностей всех возможных значений случайной величины, всегда равна единице. Это свойство вытекает из того, что все возможные значения случайной величины образуют полную группу несовместных событий, сумма вероятностей которых равна единице.

Основные законы распределения случайной величины

Учреждение образования «Белорусская государственная

Кафедра высшей математики

по изучению темы «Основные законы распределения случайной

величины» студентами бухгалтерского факультета заочной формы получения образования (НИСПО)

Основные законы распределения случайной величины

Биномиальный закон распределения случайной величины

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления некоторого события А одна и та же , при этомсобытие А может наступить k раз.

СВ Х называется распределённой по биномиальному закону, если она может принимать возможные значения X=k с вероятностями, определяемыми по формуле Бернулли

.

Постоянные величины n и p (q=1-p) называются параметрами биномиального закона распределения. Этот закон распределения можно записать в виде таблицы:

Пример 1. Приживаемость саженцев 90%. В питомнике куплены 4 саженца и посажены на дачном участке. Обозначим СВ Х=<количество прижившихся саженцев>. Эта СВ будет распределена по биномиальному закону с параметрами n=4 и p=0.9.

СВ Х называется распределённой по закону Пуассона, если она может принимать возможные значения X=k с вероятностями, определяемыми по формуле Пуассона

, .

Постоянная величина называется параметром этого закона распределения. В этом случае закон распределения СВ Х можно записать в виде таблицы:

Математическое ожидание и дисперсия СВ Х, распределённой по закону Пуассона, одинаковы и каждая из этих характеристик равна параметру : .

Равномерное распределение в интервале

Если все возможные значения СВ содержатся в интервале (a,b) и плотность распределения вероятностей постоянна, то эта СВ называется равномерно распределённой в этом интервале.

Из определения такой СВ следует, что

По одному из свойств плотности распределения . Тогда . Следовательно,

График плотности распределения имеет вид:

Функция распределения равна

График функции распределения имеет вид:

Нормальный закон распределения и его параметры

Пусть плотность распределения вероятностей СВ Х выражается функцией , гдеа и — параметры.

В этом случае говорят, что СВ Х распределена по нормальному закону и её называют нормальной СВ. Нормальный закон распределения играет большую роль в теории и практике.

Можно показать, что математическое ожидание нормально распределённой СВ Х равно параметру a, т.е. , дисперсия нормальной СВХ равна , а.

Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал и вероятность заданного отклонения

Пусть СВ Х имеет плотность распределения . Тогда вероятность того, что эта СВ примет значение в интервале , выражается формулой

.

В нашем случае . Тогда

.

Найдём интеграл в правой части равенства и получим:

, (1)

Где .

Таким образом, вероятность попадания нормальной СВ в заданный интервал определяется по формуле (1).

Рассмотрим нормальную СВ Х. Из неравенства следует, что . Тогда

.

Таким образом, для нормальной СВ вероятность того, что отклонение этой величины от её математического ожидания по абсолютной величине не больше заданного числа , вычисляется по формуле

.

Положим , т.е.. Тогда .

При t=1 .

При t=2 .

При t=3 .

Таким образом, если СВ Х распределена по нормальному закону, то практически достоверно, что отклонение этой величины от своего математического ожидания по абсолютной величине не превзойдёт утроенного среднего квадратического отклонения.

Это утверждение называется правилом «трёх сигм» и обычно используется в математической статистике.

Решения задач с нормальной случайной величиной

Пример 2. Найти вероятность того, что нормальная СВ с математическим ожиданием 3 и дисперсией 4 примет значение в интервале (-1,5).

Решение. По условию . Тогда

Пример 3. Известно, что масса клубня картофеля определённого сорта является нормально распределённой СВ Х с математическим ожиданием 110 г и средним квадратическим отклонением 30 г. Клубень считается стандартным, если он не повреждён и имеет массу 90-150 г. Определить: 1) процент стандартного картофеля в урожае, если повреждено 10% клубней; 2) величину, которую не превзойдёт масса отдельного клубня с вероятностью 0.95.

Решение. 1) По условию .

Это означает, что в урожае имеется 65.68% клубней массой от 90 до 150 г. Так как 90% клубней не повреждено, то процент стандартного картофеля равен 65.68%0.9=59.11%.

2) По условию . Требуется найти . Применим формулу

.

Тогда ,

, .

. Так как , то . По таблице найдём. Отсюда г. Таким образом, можно утверждать, что с вероятностью 0.95 масса отдельного клубня картофеля не превзойдёт 159.5 г.

Пример 4. Автомат изготавливает шарики для подшипников. Обозначим СВ Х=<отклонение фактического диаметра шарика от проектного>. Шарик считается годным, если отклонение диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0.7 мм. СВ Х распределена нормально со средним квадратическим отклонением 0.4 мм. Найти число годных шариков среди 100 изготовленных.

Решение. По условию . Воспользуемся формулой . Так как СВХ — отклонение, то

. Тогда .

Таким образом, вероятность отклонения, по абсолютной величине меньшего 0.7, равна 0.92. Это означает, что из 100 изготовленных шариков примерно 92 окажутся годными.

Пример 5. Станок изготавливает детали. Обозначим СВ Х=<фактический размер детали>. Эта СВ распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 25 мм (проектный размер) и средним квадратическим отклонением 0.5 мм. Годными считаются детали, размер которых заключён между 23.5 мм и 25.5 мм. Определить: 1) процент бракованных деталей; 2) процент деталей, диаметр которых отклоняется от проектного на величину, не превышающую 0.2 мм.

Решение. 1) По условию .

Воспользуемся формулой .

Тогда

=.

Это означает, что годные детали составляют 84%, а бракованные – 16%.

2) По условию . В этом случае воспользуемся формулой . Тогда

. Это означает, что 31% деталей имеют диаметр, который отклоняется от проектного на величину, не превышающую 0.2 мм.

Вопросы для самоконтроля знаний

Какая случайная величина называется распределённой по биномиальному закону?

Какая случайная величина называется распределённой по закону Пуассона?

Какая случайная величина называется равномерно распределённой в интервале?

Какая случайная величина называется распределённой по нормальному закону?

Как определяется вероятность попадания нормально распределённой случайной величины в заданный интервал?

Как вычисляется вероятность заданного отклонения нормальной случайной величины от её математического ожидания?

Популярное:

  • 3 закон дж-ленца тепень участия среды в образовании магнитного поля характеризуется абсолютной магнитной проницаемостьюμасреды, равной , μr– относительная магнитная проницаемость. В системе СИ единицей μ0и μаявляется 1 генри/метр = 1 Гн/м, где 1 Гн = […]
  • Налог на недвижимость ставка 2014 Установлены новые ставки налога на имущество физических лиц на 2014 год 18 декабря 2013 года депутаты городской Думы одобрили новые ставки налога. Итак, в 2014 году налог будет уплачиваться с суммарной инвентаризационной стоимости […]
  • Не снято или неснятой судимости Судимость и работа с детьми Анна Мазухина, Эксперт Службы Правового консалтинга компании "Гарант" Вот уже полтора года доступ к работе с несовершеннолетними для тех, у кого были проблемы с законом, значительно ограничен 1 . Чтобы узнать, […]
  • Правило present perfect образование Present Perfect — Настоящее совершенное время в английском языке Правила образования Present Perfect в английском языке Утвердительная форма Present Perfect образуется при помощи вспомогательного глагола to have в соответствующем лице и […]
  • Преступления в общежитии В Москве схватили возможного убийцу студента «Бауманки» На востоке столицы задержали подозреваемого в убийстве студента МГТУ им. Баумана, совершенном в начале февраля в общежитии университета. Как рассказали «Интерфаксу» в СКР, […]
  • Приказ 309 действует Действующая редакция ПРИКАЗ Минздрава РФ от 21.10.97 N 309 (ред. от 24.04.2003) "ОБ УТВЕРЖДЕНИИ ИНСТРУКЦИИ ПО САНИТАРНОМУ РЕЖИМУ АПТЕЧНЫХ ОРГАНИЗАЦИЙ (АПТЕК)" ПРИКАЗ Минздрава РФ от 21.10.97 N 309 "ОБ УТВЕРЖДЕНИИ ИНСТРУКЦИИ ПО […]
  • Пособия после 18 лет Правила и условия выплаты алиментов на ребенка после 18 лет Каждый ребенок имеет право не только на должное воспитание и получение образования, но и на материальное содержание со стороны родителей, причем как на добровольной основе, так и […]
  • Разрешение opengl Пропорциональность отображаемых объектов. Разрешение экрана Подскажите рабочий метод, который позволяет сохранять пропорции фигуры в зависимости от разрешения экрана пользователя. (к примеру квадрат должен оставаться квадратом) Добавлено […]