Понятие производной правило дифференцирования

Содержание страницы:

Правила дифференцирования. Производная произведения функций.

Дифференцирование – определение производных и дифференциалов всех порядков от функции одной переменной и частных производных и дифференциалов, кроме того, полных дифференциалов от функций большинства переменных.

Доказательство правила дифференцирования произведения 2-х функций:

Записываем предел отношения приращения произведения функций к приращению аргумента. Учитываем, что:

и

(приращение функции стремится к 0 при приращении аргумента, который стремится к 0).

Теперь рассмотрим на нескольких примерах вышеуказанное правило.

.

В этом примере . Применим правило производной произведения:

Смотрим таблицу производных основных элементарных функций и находим решение:

Найдем производную функции:

.

В данном примере . Значит:

Теперь посмотрим на вариант определения производной произведения 3-х функций. По такой системе дифференцируют произведение 4-х, и 5-ти, и 25-ти функций.

.

Исходим из правила дифференцирования произведения 2-х функций. Функцией f(x) считаем произведение (1+x)sinx, а функцией g(x) возьмем lnx:

Что бы определить снова применяем правило производной произведения:

Воспользуемся правилом производной суммы и таблицей производных:

Подставляем результат, который мы получили:

Из выше описанного видно, иногда нужно применять не только одно правило дифференцирования на одном примере. Тут важно делать все последовательно и внимательно.

.

Функция является разностью выражений и , значит:

В первом выражении выносим 2-йку за знак производной, а во 2-м выражении используем правило дифференцирования произведения:

Решение производной для чайников: определение, как найти, примеры решений

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная — одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Геометрический смысл производной

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.

Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:

Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:

Математика. Производные для чайников

Правила нахождения производных

Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.

Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.

Таблица производных

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Производная — это не всегда просто

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам Вы можете обратиться к нашим авторам. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если Вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Урок-исследование «Понятие производной. Правила дифференцирования»

Презентация к уроку

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тип урока: Урок систематизации и изучения нового материала с элементами исследования.

Форма урока: Урок-исследование.

Цели урока:

  • Познакомить с правилами дифференцирования на основе определения нахождения производных некоторых элементарных функций.
  • Формировать умения применять полученные знания по математике на уроках физики, биологии и химии, т.е. формирование целостного мировосприятия.
  • Активизировать личностный смысл учащихся к изучении темы.
  • Отработать у учащихся приемы учебно-познавательной деятельности.
  • Задачи урока:

  • Учить логически мыслить, оценивать свои знания
  • Совершенствовать умения самостоятельного поиска информации, умения анализировать, систематизировать, выбирать главное, способствующие формирование информационной и учебно – познавательной компетенции школьников.
  • Организовать деятельность учащихся по обобщению и систематизации знаний нахождения производных, отработать применение правил дифференцирования
  • Развивать умения работать в группе, способствующие формированию коммуникативной компетенции школьников. Формировать эмоционально-ценностное отношение к учебной деятельности, воспитывать интерес к математике.
  • Используемые педагогические технологии, методы и приемы.
  • Здоровьесберегающая технология, проектная технология, ИКТ технология.
  • Время реализации мероприятия, занятия: 45 мин.

    Знания, умения, навыки и качества, которые актуализируют/приобретут/закрепят/др. ученики в ходе урока:

    1. Систематизации знаний табличных производных. Нахождение новых производных
    2. Формирование умений применять табличные производные;
    3. умение извлекать необходимую информацию из различного рода источников;
      • навыки пользоваться правилами дифференцирования;
      • умение работать в команде.
      • Необходимое оборудование и материалы: Интердоска, портреты математиков, мультимедийная разработка урока, бланки листов для проведения программированного контроля, звуковое сопровождение к этапу «Актуализация» и «Релаксация».

        Дидактическое обеспечение мероприятия:

      • листы ответов;
      • карточки с заданиями для групп.
      • Список учебной и дополнительной литературы:

      • Учебник «Алгебра и начала анализа 10» профильный уровень, под ред. А.Г. Мордкович, П.В. Семенов, 2009.
      • Учебно-методическая газета «Математика в школе», №15, 2008.
      • Величко М.В. Математика 9–11. Проектная деятельность учащихся, – Волгоград, Учитель, 2-е издание, 2008.
      • Алтухова Е.В. и др. Математика. 5-11 классы: уроки учительского мастерства, – Волгоград: Учитель, 2009.
      • Аствацатуров Г.О. Дизайн мультимедийного урока: методика, технология, приемы, – Волгоград, Учитель, 2009.
      • Советы по логическому переходу от данного мероприятия к последующим: Материалы данного урока можно использовать на последующих уроках, особенно в приложениях производной и заданиях на применения геометрического смысла производной. С теста «Собери четверку» можно начать следующий урок.

        Ход урока

        Уважаемые ребята, перед Вами 3 карточки. Презентация (слайд 1)

        – Оцените, пожалуйста, своё психологическое и эмоциональное состояние в начале урока.

        Для этого поднимите карточку с одним из цветом.

      • Красная – испытываете напряжение, тревогу, дискомфорт
      • Жёлтая – неуверенность, что-то смущает.
      • Зелёная – испытываете спокойствие, уверенность, вам комфортно.
      • Организационная часть (2–3 минуты)

        Мне нравится, что сегодня у Вас хорошее психологическое и эмоциональное состояние.

        Итак, начнём урок. Соберёмся с силами. В четыре приёма глубоко вдохнём воздух через нос и в пять приёмов с силой выдохнем, задувая воображаемую свечку. Повторим это 3 раза (слайд 2)

        Тема сегодняшнего урока «Производная. Правила дифференцирования»

        На предыдущих уроках мы выводили табличные производные, доказывали правила дифференцирования и учились практическому применению. Сегодня мы должны повторить производные, правила дифференцирования, закрепить навык их нахождения, дополнить таблицу производных и увидеть широкое применение производной в других науках (слайды 3, 4)

        Включение в работу:

        1. Нахождение производной в точке

        – Ученики работают в группах. Для каждой группы дается карточка с заданием. Карточка выполнена на зелёном фоне.

        Карточки для групп:

        Найдите производные в точке и по числам, соответствующим правильным ответам, определите, как влияют окружающие цвета на состояние человека. (слайд 5 )

        -5 грусть
        2 спокойствие
        20 тревога
        2 раздражительность0,5 собранность

        Жёлтый
        a) f(x) =
        f´(1)
        б) f( x) = 2
        f´(0)

        -2 рассеянность
        1 активность
        0,5 оптимизм
        3 пассивность и слабость2 тоска

        Синий
        (a) f(x) =
        f´()
        б ) f(x) =
        f´(4)

        0,5 агрессивность
        2 открытость
        5 раздражительность
        -3 нежность
        1 легкость, снижение тревоги

        II. Сообщение о значении каждого цвета

        Красный цвет:

        Энергия красного цвета улучшает аппетит, волю, ускоряет темп мышления, повышает работоспособность, выносливость. Цвет усиливает агрессивность, жесткость, злость. Красный цвет может вызвать чувство эмоционального напряжения, волнения, тревоги.

        Пробуждает волю к жизни, страсть, отвагу, оптимизм. Повышает физическую силу, скорость кровотока, частоту пульса, артериальное давление, выносливость, работоспособность, иммунитет. Устраняет застойные процессы, боли.

        Жёлтый цвет:

        Стимулирует работу всего желудочно-кишечного тракта, оказывает очищающее действие на весь организм. Повышает настроение, умственные способности. Создает гармоничное отношение к жизни, препятствует усилению тревоги. Жёлтый цвет повышает физическую работоспособность, снимает чувство усталости и сонливость.

        Синий цвет:

        Обладает антибактериальными свойствами, эффективен при болезнях горла, спазмах, головных болях, сердцебиении, расстройстве кишечника, ревматизме.

        При использовании синего цвета появляется спокойствие, мышечное расслабление, снижает темп мышления, уменьшается тревожность. Сочетание синего и желтого цветов не вызывает торможения волевых процессов и мышления.

        Зелёный цвет: Влияет на сердечно-сосудистую и вегетативную нервную системы, сердцебиение, аритмию, снижает артериальное давление. Устраняет возбуждение, беспокойство, снимает эмоциональное напряжение. При отсутствии зелёного цвета повышается возбудимость, нервозность, раздражительность, усиливается злость, гнев, подозрительность.

        Восточные мудрецы определяли его как символ юности и гармонии Природы.

        2. Проверка домашнего задания

        a) 10 f´(= 10
        Б) 11 f´(0)=11
        В) 28 f´( =14

        Найдите эти числа.

        Поставьте их в порядке возрастания: 10, 11, 12, 14

        Меньшее из них 10 – является временем наибольшей работоспособности, а большее из них – 14- временем наибольшего утомления.

        Сообщение к ответу задачи: Работоспособность человека во время бодрствования изменяется волнообразно. Поэтому у человека в день два пика наибольшей трудоспособности 10-12 часов и 16-18 часов и один момент наибольшего утомления. Работоспособность начинает снижаться в 13 часов и к 14 часам её уже невозможно компенсировать волевым усилием. В течение недели так же отмечаются три этапа: понедельник – врабатывание; вторник, среда, четверг – устойчивая работоспособность; пятница, суббота – утомление (демонстрируется кривая работоспособности) (слайд 10)

        III. Знаете ли вы, что такое «царственная осанка»?

        Попробуем принять царственную позу: спина прямая, мышцы головы без напряжения, выражение лица очень значительное: ведь вы знаете такое количество табличных производных, которое не по силам и царственным особам. Очень быстро активизируем свой мозг. Для этого интенсивно промассажируем межбровную точку: указательным пальцем правой руки делаем 5 круговых движений в одну сторону и в другую. Повторим это 2 – 3 раза

        IV. Повторение (7–10 минут).

        Откроем тетради, запишем число и тему сегодняшнего урока.

        Один ученик пойдёт к доске и заполнит таблицу производных.

        На доске написаны выражения:

        1) Найти производную:

        (с)´, (х)´, (√х)´, ((´, ´, (kx+ b)´, (u+v)´, (uv)´, (Cu)´, ´

        2) «Найди ошибку» (слайд 11)

        За правильный ответ с объяснением +5 баллов.

        Если вы знаете формулы, но вдруг растерялись и всё сразу забыли, попробуйте собраться, убедите себя, «что вы всё знаете, у вас всё получится». Хорошо помогает обыкновенный массаж всех пальцев.

        Во время обдумывания массажируйте все пальчики от основания к ногтю.

        V. Диктант

        (Листочки для диктанта подготовлены заранее). Возьмите листочки на столах, напишите на них фамилию («Сильные» ученики получают карточки)

        Диктант (Перед началом диктанта напомнить про «царственную осанку»)

        Производная и дифференциальное исчисление неразрывны. Ряд задач дифференциального исчисления был решен еще в древности. О каких ученых здесь можно упомянуть?
        1) Декарт 2) Архимед 3) Ньютон 4) Коши 5) Лейбниц, 6) Евклид 7) Гаусс
        (Ответ: 6) Евклид – VI книга «Начал»: из всех параллелограммов, вписанных в данный треугольник, наибольший размер имеет тот, основание которого равно половине основания треугольника.2) Архимед – разработал способ проведения касательной, применимой к спирали)

        Основное понятие дифференциального исчисления – понятие производной – возникло в XVII веке, в связи с необходимостью решать задачи из физики, механики, математики. Кто является создателем дифференциального исчисления из этих ученых? (те же портреты)
        Ответ: 3) и 5)

        Любое понятие в математике имеет четкое определение
        – Какая из записей точно соответствует по определению производной?
        1) 2) 3)
        Ответ: 3

        Создали это исчисление во 2 половине XVII века практически одновременно и независимо друг от друга два ученых – И. Ньютон (1643-1727) и Г.В. Лейбниц (1646-1716). Исчисление появилось в двух различных, но по существу эквивалентных формах: Ньютон построил теорию флюксий, Лейбниц – исчисление дифференциалов. Кто из этих ученых впервые определил производную как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при ?
        (Ответ: 4 – Коши)

        Производная имеет механический (физический ) смысл)
        – В каком из перечисленных случаев можно говорить о физическом смысле?
        1)
        2)
        3)
        (Ответ:1)

        Производная также имеет геометрический смысл.
        Какой рисунок достаточно полно иллюстрирует геометрический смысл производной?

        В каком из случаев полная информация об угловом коэффициенте касательной?
        1) kкас= tɡα
        2) kкас= tɡα = f´(a), где а – абсцисса точки касания
        3) kкас=f´(a)
        (Ответ 2)

        Ответы: ы-1, й-2, н-4, е-3, у-6, ч- 3,5 (слайд 14)

        Кто такой учёный?

        Определение

        Тот, кто ночами, забыв про кровать,
        Усердно роется в книжной груде,
        Чтобы ещё кое-что узнать
        Из того, что знают другие люди
        (П. Хейн)

        Звучит музыка, под музыку звучат строчки из стихотворения:

        «Мир – рвался в опытах Кюри
        Атомной, лопнувшею бомбой
        На электронные струи
        Невоплощённой гекатобомбой . »

        Знакомы ли вам эти строчки? Эти строки в 1921 году написал Андрей Белый. Это всего за пятнадцать лет до того, как учёные начали работать над созданием бомбы! Поэт предсказал вступление в атомный век!

        Андрей Белый – это литературный псевдоним, а настоящее его имя Борис Николаевич Бугаев. Учился он на физико-математическом факультете Московского университета. Но почему же мы знаем о литературных достижениях Андрея Белого и почти ничего о математике Борисе Бугаеве? А все потому, что мир узнаёт о каком – то человеке, когда он получает всемирное признание, и ему вручают премию за какое – то достижение. Особенно самую престижную – Нобелевскую (она вручается за заслуги в самых различных областях) Так мир узнал о великом русском поэте Николае Гумилёве. Но в списках нобелевских лауреатов вы не найдёте ни одного человека, которому бы её вручили за математику! Почему? Потому что, у её основателя Нобеля была невеста и друг математик, который увел её у него и Нобель завещал: за математику премию не вручать! И сейчас я предлагаю вам на уроке стать учёными, т.е. совершить открытие, вывести еще не известные формулы самим и как знать, может уважаемая комиссия Нобелевской премии восхитится вашими математическими способностями и наконец-то обратит внимание на математиков! Итак, начинаем

        VI. Исследовательскую часть.

        1 группа: Исследовать графики и объяснить существует ли производная в точке? ответ обосновать.

        2 группа: ( Заранее до урока вызвать вычислить)

        Доказать формулу производной степенной функции используя метод математической индукции (с. 337)

        3 группа:

        Вывести формулы нахождения производных функции tqx, ctqx (с.339)

        Посмотрим как обстоит дело у вас формулами.

        Оцени сам свой ответ. Хорошо ли ты знаешь формулы?

        Первые оценки получены, я рада, что вы хорошо знаете формулы (или огорчена, что до сих пор их не выучили)

        VII. Решение упражнений (10–12 минут).

        Прежде чем переходить к следующему этапу урока, немного отдохнём. (слайд 15)

        Сидя на стуле – расслабьтесь, примите позу пиджака, висящего на вешалке,

        «Постреляйте» глазами в соседей.

        Попробуем надуть воображаемый воздушный шарик.

        Прочитать выражение на доске. (На доске в беспорядке написаны пронумерованные слова: 1 – береги, 2 – здоровье, 3 – смолоду. Составить и прочитать выражение несколько раз)

        VIII. Выступление исследователей с опережающими заданиями (Применение производной в химии и биологии, географии, физике, экономике)

        В результате на доске и в тетрадях заполняется таблица (слайд 16)

        Производная функции

        Определение производной функции

        Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и точка x0 является внутренней точкой этого отрезка.

        Производной функции y=f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции Δy к приращению независимой переменной Δx при Δx → 0, если этот предел существует (конечный или бесконечный).

        Непосредственное нахождение производной

        Геометрический смысл производной

        Производная функции y=f(x) в точке x=x0 равна тангенсу угла наклона касательной к графику этой функции в данной точке.

        Используя этот факт, запишем уравнение касательной в точке x=x0
        y — f(x0) = f ` (x0)(x — x0)

        Механический смысл производной

        Пусть S=S(t) является функцией зависимости пути от времени. Тогда

        Отсуда следует, что производная функции равняется мгновенной скорости изменения функции.

        Производная функции. Понятие производной. Геометрический смысл производной. Физический смысл производной. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Достаточное условие монотонности функции. Необходимое и достаточное условия экстремума.

        Производная функции. Понятие производной. Геометрический смысл производной.
        Физический смысл производной. Правила дифференцирования. Производная сложной функции.
        Достаточное условие монотонности функции. Необходимое условие экстремума.
        Достаточное условие экстремума.

        Производная функции. Понятие производной, определение производной:

      • Производной (первой производной)f ‘ (x)функции f (x) в точке xo называется предел отношения
        • приращения функции Δ f (x) = f (x0 + Δx) — f (x0)
        • к приращению аргумента Δx при Δx→0,
      • если этот предел существует:
      • Второй производнойf » (x)функции f (x) в точке xo называется производная от производной f ‘ (x) в точке xo
      • Дифференцирование — это операция нахождения производной f ‘ (x)
      • Производная функции. Геометрический смысл производной:

        • Производная функции f (x) в точке xo равна угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной прямой к графику функции y = f (x)в точке M0(x0,y0), то есть:
          • f ‘ (x0) = k, где k = tg α
          • Уравнение касательной к кривой y = f (x) в точкеx0 имеет вид:
            • y = f ‘ (x)(x-x0) + f(x0)
            • Производная функции. Физический смысл производной:

            • Если точка движется вдоль оси x и ее координата изменяется по закону x (t), то мгновенная скорость точки:
            • а укорение (мгновенное ускорение):
            • Понятие производной правило дифференцирования

              Ключевые слова: дифференцируемая функция, свойство предела произведения, дифференцируема в точке

              Если функции f и g дифференцируемы в точке $$x_<0>$$ то в этой же точке дифференцируемы сумма, произведение и частное (если $$g'(x_<0>) \ne 0$$) этих функций, причем

              Постоянный множитель C можно выносить из-под знака производной: (Cf) = Cf. В частности, С’=0

              Если f дифференцируема,
              то $$f^$$ где $$n \in N$$ также дифференцируема, причем $$(f^)’= nf^f’$$

              Если функция y = f (x) непрерывна и строго возрастает в окрестности точки $$x_<0>$$ причем $$f'(x_<0>) \ne 0$$,
              то функция x = $$\phi$$ (y),обратная к функции y = f (x), дифференцируема в точке $$y_<0>$$ = f ($$x_<0>$$), причем $$\phi'(x_<0>) = \frac<1>)>$$.

              Дифференциал функции y = f (x) имеет один и тот же вид $$dy = f'(x)dx$$ как в случае, когда x – независимая переменная, так и в случае, когда x – дифференцируемая функция другого переменного.

              Пусть в окрестности точки t 0 определены функции x (t) и y (t), причем x (t) непрерывна и строго монотонна.
              Пусть в этой окрестности существуют производные $$x'(t_<0>) \ne 0$$ и $$y'(t_<0>)$$
              Тогда сложная функция y = y ( t ( x )), где t ( x ) – функция, обратная x (t), дифференцируема по x , причем $$ = \frac$$.

              Популярное:

              • 7 федеральный закон о рекламе 7 федеральный закон о рекламе Федеральный закон Российской Федерации от 13 марта 2006 года № 38-ФЗ (текст по состоянию на 02.02.2017 г.) Глава 5. ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАДЗОР В СФЕРЕ РЕКЛАМЫ И ОТВЕТСТВЕННОСТЬ ЗА НАРУШЕНИЕ ЗАКОНОДАТЕЛЬСТВА […]
              • Налоги являются государственными и муниципальными Налоги являются государственными и муниципальными Просмотров научной работы: 14598 Комментариев к научной работе: 0 Поделиться с друзьями: Согласно Ст.120 ГК РФ учреждение — некоммерческая организация, созданная собственником для […]
              • Требуется юрист адвокат москва Адвокаты и юристы. Вакансии и работа для адвокат Информация 1 282 записи к записям сообщества Мы предоставляем онлайн займы по всей России.Вы можете получить от 5 до 80т.р на киви кошелёк или на банковскую карту не отходя от Вашего […]
              • Программы подготовки юристов Уровни и сроки подготовки Бакалавриат по направлению подготовки 521400 «Юриспруденция» Направление 521400 «Юриспруденция» утверждено приказом Министерства образования Российской Федерации 02.03.2000 г. № 686. Квалификация выпускника - […]
              • Приказ минздрава 169 н Приказ минздрава 169 н В целях реализации статьи 223 Трудового кодекса Российской Федерации (Собрание законодательства Российской Федерации, 2002, N 1, ст. 3; 2006, N 27, ст. 2878; 2009, N 48, ст. 5717) и в соответствии с пунктом […]
              • 118 федеральный закон судебных приставов Федеральный закон от 21 июля 1997 г. N 118-ФЗ "О судебных приставах" (с изменениями и дополнениями) Федеральный закон от 21 июля 1997 г. N 118-ФЗ"О судебных приставах" С изменениями и дополнениями от: 7 ноября 2000 г., 29 июня, 22 августа […]
              • Волшебное пребывание Открыл свои двери лагерь с дневным пребыванием детей «Волшебное море» С 25 мая по 13 июля 2018 г. в МБОУ «СОШ № 5» НГО «Волшебное море» ждет своих обитателей. Для детей, проводятся подвижные игры, интеллектуальные конкурсы, соревнования, […]
              • Оформить шенген в польшу Для краткосрочных поездок до 90 дней для россиян в Польшу в 2018 году потребуется получение Шенгенской визы категории C. Если вы планируете посещать несколько стран Шенгенской зоны, то польскую визу нужно делать только в том случае, если […]