Правила построение графиков с модулем

Правила построение графиков с модулем

•Функция вида y=|x|.
•График функции на промежутке [0;∞) совпадает с графиком функции у=х, а на промежутке (-∞;0] – с графиком функции у=-х.

Рассмотрим сначала простейший случай – функцию y=|x|. По определению модуля, имеем:

Таким образом, для х≥0 функция y=|x| совпадает с функцией у=х, а для х

Пример 1. Построить график функции y=||1-x 2 |-3|.
Построим график функции y=1-x 2 и применим к нему операцию «модуль» (часть графика, расположенная ниже оси OX симметрично отражается относительно оси OX).

Выполним сдвиг графика вниз на 3.

Применим операцию «модуль» и получим окончательный график функции y=||1-x 2 |-3|

Пример 2. Построить график функции y=||x 2 -2x|-3|.
В результате преобразования получаем y=|x 2 -2x|=|(x-1) 2 -1|. Построим график функции y=(x-1) 2 -1: строим параболу y=x 2 и выполняем сдвиг вправо на 1 и вниз на 1.

Применим к нему операцию «модуль» (часть графика, расположенная ниже оси OX симметрично отражается относительно оси OX).

Выполним сдвиг графика вниз на 3 и применим операцию «модуль», в результате получим окончательный график.

Пример 3. Построить график функции .
Чтобы раскрыть модуль, надо рассмотреть два случая:
1)x>0, тогда модуль раскроется со знаком «+» =
2)x 0, в итоге получим.

Соединим два графика и получим окончательный.

Пример 4. Построить график функции .
Построим сначала график функции .Для этого удобно выделить целую часть, получим . Строя по таблице значений, получаем график.

Применим операцию модуль (часть графика, расположенная ниже оси OX симметрично отражается относительно оси OX). Получаем окончательный график

Пример 5. Построить график функции y=|-x 2 +6x-8|. Cначала упростим функцию до y=1-(x-3) 2 и построим её график

Теперь применим операцию «модуль» и отразим часть графика ниже оси OX, относительно оси OX

Пример 6. Построить график функции y=-x 2 +6|x|-8. Также упростим функцию до y=1-(x-3) 2 и построим её график

Теперь применим операцию «модуль» и отразим часть графика правее оси оY, в левую часть

Пример 7. Построить график функции . Построим график функции

Построим график функции

Выполним параллельный перенос на 3 единичных отрезка вправо и 2 вверх. График примет вид:

Применим операцию «модуль» и отразим часть графика правее прямой x=3 в левую полуплоскость.

Пример 8. Построить график функции . Построим график функции

Построим график функции

Построим график функции

Теперь применим операцию «модуль» и симметрично отразим часть графика правее оси OY

Пример 9. Построить график функции . Построим график функции из Примера 7,

Теперь применим операцию «модуль» ко всей функции

Пример 10. Построить график функции . Построим график функции из Примера 8,

Методы построения графиков функций содержащих модуль

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (200,7 кБ)

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель урока:

  • повторить построение графиков функций содержащих знак модуля;
  • познакомиться с новым методом построения графика линейно-кусочной функции;
  • закрепить новый метод при решении задач.
  • Оборудование:

    • мультимедиа проектор,
    • плакаты.
    • Ход урока

      Актуализация знаний

      На экране слайд 1 из презентации.

      Что является графиком функции y=|x| ? (слайд 2).

      (совокупность биссектрис 1 и 2 координатных углов)

      Найдите соответствие между функциями и графиками, объясните ваш выбор (слайд 3).

      Расскажите алгоритм построения графиков функций вида y=|f(x)| на примере функции y=|x 2 -2x-3| (слайд 4)

      Ученик: чтобы построить график данной функции нужно

      — построить параболу y=x 2 -2x-3

      — часть графика над ОХ сохранить, а часть графика расположенную ниже ОХ отобразить симметрично относительно оси ОХ (слайд 5)

      Расскажите алгоритм построения графиков функций вида y=f(|x|) на примере функции y=x 2 -2|x|-3 (слайд 6).

      — часть графика при х 0 сохраняется и отображается симметрии относительно оси ОУ (слайд 7)

      Расскажите алгоритм построения графиков функций вида y=|f(|x|)| на примере функции y=|x 2 -2|x|-3| (слайд 8).

      Ученик: Чтобы построить график данной функции нужно:

      — нужно построить параболу у=x 2 -2x-3

      — строим у= x 2 -2|x|-3, часть графика сохраняем и симметрично отображаем относительно ОУ

      — часть над ОХ сохраняем, а нижнюю часть симметрично отображаем относительно ОХ (слайд 9)

      Следующее задание выполняем письменно в тетрадях.

      1. Построить график линейно-кусочной функции у=|х+2|+|х-1|-|х-3|

      Ученик на доске с комментарием:

      — находим нули подмодульных выражений х1=-2, х2=1, х3=3

      — разбиваем ось на промежутки

      — для каждого промежутка запишем функцию

      — строим график линейно-кусочной функции.

      Мы с вами построили график функции используя определение модуля (слайд 10).

      Предлагаю вашему вниманию “метод вершин”, который позволяет строить график линейно-кусочной функции (слайд 11). Алгоритм построения дети записывают в тетрадь.

      Метод вершин

      Алгоритм:

      1. Найдем нули каждого подмодульного выражения
      2. Составим таблицу, в которой кроме нулей запишем по одному значению аргумента слева и справа
      3. Нанесем точки на координатную плоскость и соединим последовательно
      4. 2. Разберем этот метод на той же функции у=|х+2|+|х-1|-|х-3|

        Учитель на доске, дети в тетрадях.

        Метод вершин:

        — найдем нули каждого подмодульного выражения;

        — составим таблицу, в которой кроме нулей запишем по одному значению аргумента слева и справа

        — нанесем точки на координатную плоскость и соединим последовательно.

        Графиком линейно-кусочной функции является ломанная с бесконечными крайними звеньями (слайд 12) .

        Каким же методом график получается быстрее и легче?

        3. Чтобы закрепить данный метод предлагаю выполнить следующее задание:

        При каких значения х функция у=|х-2|-|х+1| принимает наибольшее значение.

        Следуем алгоритму; ученик на доске.

        у(3)=1-4=3, соединяем последовательно точки.

        4. Дополнительное задание

        При каких значениях а уравнение ||4+x|-|x-2||=a имеет два корня.

        5. Домашняя работа

        а) При каких значениях Х функция у =|2x+3|+3|x-1|-|x+2| принимает наименьшее значение.

        б) Построить график функции y=||x-1|-2|-3| .

        Построение графиков функций и зависимостей, содержащих знак модуля с использованием информационных технологий

        Проблема: повышение уровня математической подготовка учащихся через решение задач повышенной сложности с использованием в учебном процессе современных информационных технологий.

        При решении последних заданий в работах, предлагаемых на выпускных экзаменах за курс средней школы, а также при решении задач, предлагаемых на вступительных экзаменах в вузы по математике, могут быть использованы любые известные учащимся математические методы.

        Как правило, применение «нестандартных» методов позволяет более эффективно решать многие задачи повышенной сложности. Мой опыт работы в школе показывает, что задания на построение графиков функций и зависимостей, содержащих знак модуля, вызывают у учащихся затруднения.

        Цель работы: рассмотреть построение графиков трех видов: y = f(|x|), y = |f(x)|, |y| = f(x) — для дальнейшего применения данного материала на уроках алгебры, на факультативных и дополнительных занятиях.

        Построение графиков функций и зависимостей, содержащих знак модуля

        В методической литературе этому вопросу уделяется немало внимания; наблюдения показывают, что такие задачи вызывают у учащихся затруднения и они допускают ошибки при построении указанных графиков.

        Одна из причин таких ошибок кроется, на мой взгляд, в непонимании учащимися определения модуля числа:

        При работе над определением модуля числа учитель должен обратить внимание учащихся на то, что число — x может быть как отрицательное (при x 0).

        В курсе алгебры неполной средней школы на уроках и в период проведения внеклассной работы целесообразно рассмотреть построение графиков трех видов:

        Для построение всех типов графиков учащимся достаточно хорошо понимать определение модуля и знать виды простейших графиков, изучаемых в школе.

        Так, для построения графика функции y = f(|x|) на основании модуля имеем:

        Следовательно, график функции y = f(|x|) состоит из двух графиков: y = f(x) — в правой полуплоскости, y = f(-x) — в левой полуплоскости.

        После того, как учащиеся познакомятся с определением четной и нечетной функции, их можно познакомить с правилом 1.

        Правило 1: функция y = f(|x|) — четная, поэтому для построения ее графика достаточно построить график функции y = f(x), для всех х ≥ 0 из области определения и отразить полученную часть симметрично оси ординат.

        Знание этого правила облегчает построение графиков функций вида y = f(|x|).

        Целесообразно предлагать учащимся строить графики двумя способами:
        1) на основании определения модуля;
        2) на основании правила 1.

        После знакомства с квадратичной функцией весьма интересным и полезным является построение графиков функций:

        В старших классах после знакомства учащихся с графиками тригонометрических функций полезно построить графики функций y = sin(|x|), y = cos(|x|), y = tg(|x|), обратив внимание учащихся, что график функции y = cos(|x|) совпадает с графиком y = -cos(|x|) (y = cos(|x|) — четная функция).

        В современном образовании одним из важных и актуальным вопросом является разработка методики внедрения и использования информационных, компьютерных и мультимедийных продуктов в учебном процессе.

        Одной из удобной форм активизации передачи и восприятия информации, на наш взгляд, является компьютерная интерактивная презентация, которую целесообразно использовать учителю в качестве сопровождения при объяснении нового материала.

        Пример слайдов компьютерной презентации, иллюстрирующих правило 1:


        Знакомство учащихся с построением графиков функций вида y = |f(x)| лучше начинать сразу же, как только они хорошо усвоят определение модуля.

        Таким образом, график функции y = |f(x)| расположен только в верхней полуплоскости.

        Строим график функции y = x 2 — 4 (рис. 3).

        Как правило, учащиеся хорошо понимают правило построения графика такой функции. Его можно легко довести до автоматизма. Во избежание формализма в знаниях и умениях учащихся необходимо чередовать построение графиков вида y = f(|x|) и y = |f(x)|.

        С построением графиков зависимостей вида |y| = f(x) учащихся можно познакомить на внеклассных занятиях, ибо такие графики вызывают наибольшие затруднения. Учитывая, что в формуле |y| = f(x) f(x) ≥ 0 и на основании определения модуля

        Исходя из этого, можно сформулировать правило 3.

        Правило 3: для построения графиков зависимости (а не функции) достаточно построить график функции y = f(x) для тех x из области определения, при которых f(x) ≥ 0 и отразить полученную часть графика, симметрично оси абсцисс.

        Мы убедились, что учитель, проводящий урок с помощью компьютера, имеет возможность интенсифицировать процесс обучения, сделать его более наглядным, динамичным. Такие уроки вызывают большой интерес у учащихся, способствуют повышению качества знаний, расширяют горизонты школьной математики.

        В соответствии с этим правилом можно предложить учащимся построить графики (рис. 4):

        Преобразования графиков с модулем

        Модуль аргумента и модуль функции

        Если Вы попали на эту страницу из поисковика, миновав предыдущие разделы темы «Графики функций и их преобразования», то рекомендую сначала повторить графики основных элементарных функций и общие правила преобразования графиков функций.

        В этом примере оба графика получены из графика функции y = x − 3. Первый — преобразованием Гf(x) → Гf(|x|) , второй — преобразованием Гf(x) → Г|f(x)| .

        III При построении из графика функции y = f(x) более сложных графиков, например, вида y = k·f (a|x| + b) + c или y = k·|f (ax + b)| + c тщательно соблюдайте последовательность преобразований.

        Ниже показаны примеры графиков различных функций, содержащих модуль, которые получены из графика функции y = √|x| __ .

          1.2.3.4.5.

          IV Равенство вида |y| = f (x) по определению не является функцией, так как допускает неоднозначность при вычислении значения y. Однако линию на координатной плоскости оно задает, и эту линию тоже можно построить, исходя из графика функции y = f(x) .
          Для этого нужно:

          1. Построить график функции y = f(x) .
          2. Исключить его часть, расположенную ниже оси абсцисс, поскольку указанное равенство возможно только для положительных значений f(x).
          3. Построить нижнюю часть линии (при отрицательных y) симметричным отображением относительно оси Ox.
          4. Эти графики также получены из графика функции y = √x _ .

              6.7.

            Пример 1.

            Задан график функции y = x 2 .
            Построить кривые, удовлетворяющие уравнению, |y| = x 2 − 2|x| − 5 .

            Заметим, что x 2 = |x| 2 (значение четной степени, как и значение модуля, всегда неотрицательно). Поэтому, выделяя полный квадрат, преобразуем функцию к виду |y| = (|x| − 1) 2 − 6 и строим её график последовательными преобразованиями.

            Строим график функции f(x) = (x − 1) 2 − 6 переносом на 1 вправо вдоль оси Ox, а затем переносом вниз на 6 единиц вдоль оси Oy.
            Строим график функции f(|x|) = (|x| − 1) 2 − 6 с использованием преобразования симметрии относительно оси Oy.
            Строим линии, удовлетворяющие уравнению |y| = (|x| − 1) 2 − 6 с использованием преобразования симметрии относительно оси Ox.

              1.2.3.4.5.

              Следующий график постройте самостоятельно, чтобы убедиться, что вы правильно поняли материал.

              Пример 2.

              Задан график функции y = x 2 .
              Построить график функции y = |x 2 − 2x − 5| .

              Сумма модулей

              Если формула функции включает сумму или разность несколько модулей, то следует разбить координатную плоскость на участки и построить каждую ветвь графика отдельно. Границы участков определяются приравниванием каждого модуля к нулю и решением соответствующего уравнения. Подробный пример такого подхода можно увидеть в задаче 1 на странице, посвященной решению уравнений с параметрами.

              Однако, если подмодульные выражения простые и содержат элементарные функции, графики которых вам хорошо известны, то можно получить результат прямым сложением ординат этих графиков в характерных точках.

              Пример 3.

              Построить график функции y = |x + 2| + |x − 1| .

              Эти два модуля содержат только линейные функции, графиками которых являются прямые линии. В результате сложения должна получиться ломаная линия, состоящая из трёх звеньев. (2 модуля, следовательно 2 уравнения, каждое из которых имеет одно решение, следовательно 2 границы, которыми плоскость разбита на 3 участка.) Трёхзвенную ломаную можно построить по 4-ём точкам.

              На одних осях независимо друг от друга строим графики функций y = |x + 2| и y = |x − 1| , используя сдвиг и отражение. Складываем ординаты в точках излома x = −2 и x = 1 и в двух удобных точках на крайних участках, например, при x = −3 и x = 3 . На приведенном рисунке красным цветом представлен результирующий график, полученный по этим 4-ём точкам: (−3;5 ), (−2;3 ), (1; 3), (3;7).

              Теперь проверьте себя.

              Пример 4.

              Построить график функции y = |x + 2| + |x − 1| − |x| .

              Есть вопросы? пожелания? замечания?
              Обращайтесь — mathematichka@yandex.ru

              Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте гиперссылку.

              Тема: «Построение графиков квадратичной функции, содержащей модуль»

              Данный урок был проведен во II полугодии 7-го класса. Это был экспериментальный класс с углубленным изучением математики с 5-го класса, а фактически с расширением ее изучения с начальной школы. Но, на мой взгляд, данный урок может быть с успехом проведен в 8-м классе с углубленным изучением математики при изучении темы «Графики квадратичной функции». Следует только заменить устный материал на подходящий для 8-го класса.

              Вид урока: комбинированный.

              Цели урока: продолжить формирование навыка построения графиков функций, содержащих модуль; обратить внимание на геометрический смысл модуля.

              Оборудование.

              1. Таблица с графиками квадратичной функции.
              2. Эпипроектор, экран.
              3. Рисунки для эпипроектора.
              4. Макет координатной плоскости с кальками графиков.
              5. Лист с пропечатанной основой для работы на уроке для каждого ученика.
              6. Шаблон параболы для каждого ученика.
              7. Магнитная доска и магниты.

              Ход урока

              1-й этап (10 мин). Вступительное слово учителя (сообщение темы и цели урока). Проверка домашнего задания с помощью математического диктанта (на дом было задано повторить понятие модуля). Ученики работают на пропечатанных листах, которые перед уроком раздаются каждому из них. Они пригодятся два раза.

              2.

              3.

              4.

              2)

              3)

              5)

              Диктант проходит следующим образом. Учитель диктует задания по вариантам.

              1. Может ли быть отрицательным значение суммы 2 + | x |?
              2. Может ли равняться нулю значение разности 2| x | – | x |?
              3. При каких значениях y верно равенство – y = | – y |?
              4. Решите уравнение | x – 2 | = 5.
              5. Схематично постройте график функции y = | x |.
              6. Схематично постройте график функции y = – | x | + 2.
              7. Схематично постройте график функции y = | x – 2 |.

              1. Может ли быть отрицательным значение суммы | x | + 6?
              2. Может ли равняться нулю значение разности 3| x | – | x |?
              3. При каких значениях y верно равенство – y = | y |?
              4. Решите уравнение | x – 3 | = 4.
              5. Схематично постройте график функции y = – | x |.
              6. Схематично постройте график функции y = | x | + 2.
              7. Схематично постройте график функции y = | x + 2 |.

              На выполнение каждого задания дается не более 1 мин. Учащиеся сразу же проверяют правильность полученных ответов, самостоятельно сверяя их с ответами на экране. (Учитель включает эпипроектор.) Если ответ правильный, ученики ставят знак «+», неправильный – знак «–». Затем они сами выставляют себе оценки:

              все плюсы – 5;
              один-два минуса – 4;
              три минуса – 3;
              более трех минусов – 2.

              Ответы на экране

              1. Нет.
              2. При x = 0.
              3. При y Ј 0.
              4.
              5.
              6.
              7.

              1. Нет.
              2. При x = 0.
              3. При y Ј 0.
              4.
              5.
              6.
              7.

              2-й этап. Устная работа с таблицей (2–3 мин). Учитель предлагает поработать устно с заранее подготовленной таблицей. Она либо написана на выдвижной или переносной доске, либо проецируется на экран через эпипроектор.

              Если подобные диктанты бывают достаточно часто, то учащиеся, как правило, быстро справляются с предложенными заданиями.

              На доске записаны шесть математических утверждений. Ученики должны ответить, верны ли они или не верны, т. е. утверждение истинное или ложное, и почему.

              Ученики отвечают, и по ходу ответов (если таблица записана на доске) учитель вписывает буквы «и» или «л» в соответствующую клетку. В результате получается следующая заполненная таблица:

              З-й этап. Самостоятельная работа по чертежам на листах с пропечатанной основой и проверка (3 мин). Для работы еще раз понадобятся листы с пропечатанной основой. Ученикам предлагается внимательно посмотреть на рисунки и ответить, как с помощью модуля можно записать множество изображенных на них точек. Работа происходит самостоятельно, рядом с рисунком делается запись.

              Учащиеся работают, а учитель ставит в эпипроектор лист с ответами, пока не включая его.

              Затем он собирает листы, включает эпипроектор и отвечает на возможные вопросы.

              4-й этап. Прочитайте графики функций, изображенные на таблице, прикрепленной к магнитной доске (2–3 мин).

              1. y = | x | + 4. 2. y = | x + 2 | – 2. 3. y = | x – 1 |. 4. y = – | x | – 3.

              5-й этап. Объяснение учителем нового материала «Построение графиков путем геометрических преобразований» (10 мин). На выдвижной или переносной доске должны быть заготовлены два чертежа (используется цветной мел).

              Первая выдвижная доска

              На доске изображена парабола – график квадратичной функции y = f(x). Покажите на графике участки, для которых значения функции:

              а) положительны; б) отрицательны; в) равны 0.

              А теперь, исходя из данного графика, построим график функции y = | f(x) |. Те участки, где функция положительна, нам подходят, так как при y l 0 | y | = y по определению модуля. Как же быть с частью параболы, для которой значения функции отрицательны? Построим точки с противоположной ординатой, так как модуль отрицательного числа есть число ему противоположное. Таким образом, мы зеркально отобразим часть параболы в верхнюю полуплоскость.

              Алгоритм построения графика вида y = | f(x) |

              1. Строим график функции y = f(x).

              2. Часть графика, для которой значения функции положительны, оставляем без изменения.

              3. Часть графика, для которой значения функции отрицательны, зеркально отображаем в верхнюю полуплоскость.

              6-й этап. Самостоятельное построение графиков и проверка с кальками на макете координатной плоскости (10 мин).

              Тема: «Построение графиков квадратичной функции, содержащей модуль»

              Постройте графики функций:

              Задание на дом. Алимов: № 133; Макарычев: № 1209(а, б); y = | 4 – x 2 |, y = | x | · x 2 .

              Ученики самостоятельно строят, используя шаблон параболы, графики функций, записанных на доске.

              Пока ученики работают самостоятельно, учитель стирает все написанное на выдвижной доске и делает две заготовки координатной плоскости. Затем он проверяет листы с пропечатанной основой и сразу выставляет оценки. Подводит некоторые итоги устной работы и выставляет (для себя) предварительные оценки.

              Макет координатной плоскости с кальками-ответами крепится на доске. Начинается проверка построения графиков.

              а)
              y = | x 2 |

              7-й этап. Аналитическое построение (5 мин). Построим график функции, исходя из определения модуля.

              По определению модуля

              Используя заготовку координатной плоскости, учитель строит график заданной функции, который центрально симметричен относительно начала координат.

              2. Постройте график функции

              Заменим x 2 на | x | 2 , так как x 2 = | x | 2 . Выполним преобразования:

              Учитель строит график, используя вторую заготовку, сознательно не «выкалывая» точку x = 0, и просит найти ошибку.

              Затем приводит правильный вариант построения графика функции

              8-й этап. Подведение итогов урока (3 мин). Учитель подводит итог урока, выставляет оценки. Ученики записывают домашнее задание.

              Построение графиков функции, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины

              Понятие модуля является одной из важнейших характеристик числа в области действительных чисел, широко применяется в различных разделах школьного курса математики, физики, но рассмотрение задач, связанных с понятием модуля ( а тем более исследование и построение графиков функций, содержащих знак модуля ) появляется лишь эпизодически, в рамках изучения той или иной темы. Тем не менее, задачи, связанные с модулями построением графиков функций, содержащих знак модуля, часто встречаются на математических олимпиадах, вступительных экзаменах в ВУЗы, ЕГЭ.

              Цель моей исследовательской работы: изучить соответствующие теоретические материалы, выявить алгоритм построения графиков функции, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины.

              Объект исследования: линейные функции, квадратичные и кубические функции, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины.

              В результате исследования графиков функции, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины, я получала возможность знать и понимать определение модуля действительного числа, правила построения графиков функций, содержащих знак модуля; уметь применять определение, свойства модуля к решению конкретных задач, читать и строить графики функций, содержащих знак модуля, графически решать уравнения и неравенства, применять компьютерную программу для исследования и построения графиков функций, содержащих знак модуля.

              При выполнении исследовательской работы я сформировала алгоритмы построения графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины. Это функции: у=f |(х)|, у=|f(х)|, у=|f |(х)| |.

              Предварительный просмотр:

              ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИИ, АНАЛИТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ КОТОРЫХ СОДЕРЖИТ ЗНАК АБСОЛЮТНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

              Мухаматдинова Динара Рамзиевна,

              МОУДОД Центр внешкольной работы Агрызского муниципального района РТ, Кучуковская СОШ

              ученик 10 класса.

              Бурганиева А.Р., учитель математики высшей категории Кучуковской СОШ Агрызского муниципального района РТ

              2. Геометрическая интерпретация понятия |а |—————————- — -5

              Цель и задачи работы: изучить соответствующие теоретические материалы, выявить алгоритм построения графиков функции, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины.

              Объект исследования : функции, содержащие знак абсолютной величины.

              Предмет исследования: закономерность графиков функции у = f |(х)|,

              у = | f (х)|, у = | f |(х)| |.

              Методы исследования : решение примеров на построения графиков, сравнение, анализ, обобщение.

              Построение графиков функций одна из интереснейших тем в школьной математике. Один из крупнейших математиков нашего времени Израиль Моисеевич Гельфанд писал: «Процесс построения графиков является способом превращения формул и описаний в геометрические образы. Это – построение графиков – является средством увидеть формулы и функции и проследить, каким образом эти функции меняются. Например, если написано y=x 2 , то Вы сразу видите параболу; если y=x 2 -4, Вы видите параболу, опущенную на четыре единицы; если же y=4-x 2 , то Вы видите предыдущую параболу, перевернутую вниз. Такое умение видеть сразу и формулу, и ее геометрическую интерпретацию – является важным не только для изучения математики, но и для других предметов. Это умение, которое остается с Вами на всю жизнь, подобно умению ездить на велосипеде, печатать на машинке или водить машину».

              Хотя уравнения с модулями мы начали изучать уже с 6-го – 7-го класса, где мы проходили самые азы уравнений с модулями. Я выбрал именно эту тему, потому что считаю, что она требует более глубокого и досконального исследования. Я хочу получить более широкие знания о модуле числа, различных способах построения графиков, содержащих знак абсолютной величины.

              Цель работы: изучить соответствующие теоретические материалы, выявить алгоритм построения графиков функции, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины.

              Методы исследования: решение примеров на построения графиков, сравнение, анализ, обобщение.

              II. Основная часть.

              1. Историческая справка.

              В первой половине XVII века начинает складываться представление о функции как о зависимости одной переменной величины от другой. Так, французские математики Пьер Ферма(1601-1665) и Рене Декарт (1596-1650) представляли себе функцию как зависимость ординаты точки кривой от её абсциссы. А английский ученый Исаак Ньютон(1643-1727) понимал функцию как изменяющуюся в зависимости от времени координату движущейся точки.

              Термин «функция» (от латинского function – исполнение , совершение) впервые ввел немецкий математик Готфрид Лейбниц(1646-1716). У него функция связывалась с геометрическим образом (графиком функции). В дальнейшем швейцарский математик Иоганн Бернулли(1667-1748) и член Петербургской Академии наук знаменитый математик XVIII века Леонард Эйлер(1707-1783) рассматривали функцию как аналитическое выражение. У Эйлера имеется и общее понимание функции как зависимости одной переменной величины от другой.

              Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово(омоним), которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках.

              В архитектуре — это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов.

              В технике — это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и .т.п.

              Модуль объемного сжатия( в физике)- отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.

              Определение. Модуль числа a или абсолютная величина числа a равна a , если a больше или равно нулю и равна -a , если a меньше нуля:

              Из определения следует, что для любого действительного числа a,

              2. Геометрическая интерпретация понятия модуля |а |

              Каждому действительному числу можно поставить в соответствие точку числовой прямой, это точка будет геометрическим изображением данного действительного числа. Каждой точке числовой прямой соответствует её расстояние от начало отсчета, или длина отрезка, начало которого в точке начала отсчета, а конец – в данной точке. Длина отрезка всегда рассматривается как величина неотрицательная. Геометрической интерпретацией действительного числа служит вектор, выходящий из начала отсчета и имеющий конец в точке, изображающей данное число. Длина этого вектора будет геометрической интерпретацией модуля данного действительного числа.

              3. График функции у=f |(х)|

              у=f |(х)| — четная функция, т.к. | х | = | -х |, то f |-х| = f | х |

              График этой функции симметричен относительно оси координат.

              Следовательно, достаточно построить график функции у=f (х) для х>0,а затем достроить его левую часть, симметрично правой относительно оси координат.

              Например, пусть графиком функции у=f (х) является кривая, изображенная на рис.1, тогда графиком функции у=f |(х)| будет кривая, изображенная на рис.2.

              1. Построить график функции у= |х|

              1. Если х≥0, то |х| =х и наша функция у=х, т.е. искомый график совпадает с биссектрисой первого координатного угла.
              2. Если х 0.

              б) Поэтому достраиваю для х 0;

              2. Для х 0 и симметрично отражённой частью у = f(х) при у 0, то

              | f (х)| = f(х), значит в этой части график функции

              у = | f (х)| совпадает с графиком самой функции

              2. Строить вторую часть графика, т. е. построенный график симметрично отражать относительно ОУ, т.к. данная функция четная.

              3. Участки получившегося графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовывать на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

              Построить график функции у = | 2|х | — 3| ( 1-й способ по определению модуля)

              1. Строю у = 2|х | — 3 , для 2 |х| — 3 > 0 , | х |>1,5 т.е. х 1,5

              а) у = 2х — 3 , для х>0

              2) Строю прямую, симметричную построенной относительно оси ОУ.

              3) Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, отображаю симметрично относительно оси ОХ.

              Сравнивая оба графика, видим, что они одинаковые.

              1. Строю у = х² – 5 |х|, для х² – 5 |х| > 0 т.е. х >5 и х 0

              Сравнивая оба графика, видим что они одинаковые. (Рис.9)

              1). Строю у = |х|³ — 2 , для |х|³ — 2 > 0, x> и x 0

              б) Строю часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ

              в) Часть графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовываю на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

              Сравнивая оба графика, видим что они одинаковые. (Рис.10)

              При выполнении исследовательской работы я делала такие выводы:

              — сформировала алгоритмы построения графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины.

              Алгоритм построения графика функции у=f |(х)|

              1.Построить график функции у=f (х) для х>0;

              2.Построить для х 0.

              2. Построить кривую графика, симметричную построенной относительно оси ОУ, т.к. данная функция четная.

              3. Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовывать на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

              — приобрела опыт построения графиков таких функций, как:

              у=f |(х)|; у = | f (х)| ; у=|f |(х)| |;

              — научилось работать с дополнительной литературой и материалами, производить отбор

              — приобрела опыт выполнения графических работ на компьютере.

            • И. М.Гельфанд, Е.Г. Глаголева. Функции и графики. Издательство «Наука»
            • Р.А. Калнин. Алгебра и элементарные функции. Издательство «Наука»
            • М.К. Потапов, С.Н. Олехник. Конкурсные задачи по математики, Москва. «Наука»
            • Ю. Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк. Дополнительные главы к школьному учебнику.
          Предварительный просмотр:

          Подписи к слайдам:

          «Исследовательская работа по построению графиков функции, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины» Выполнила: Мухаматдинова Динара , ученик 10 класса Кучуковской средней общеобразовательной школы Агрызского муниципального района РТ Научный руководитель: Бурганиева А. Р., у читель математики высшей категории

          Цель и задачи работы: изучить соответствующие теоретические материалы, выявить алгоритм построения графиков функции, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины. Объект исследования : функции, содержащие знак абсолютной величины. Предмет исследования: закономерность графиков функции у = f |(х)|, у = | f (х)|, у = | f |(х)| |. Методы исследования: решение примеров на построения графиков, сравнение, анализ, обобщение.

          Содержание 1.Историческая справка 2.Геометрическая интерпретация понятия |а | 3.График функции у = f |(х)| 4.График функции у = | f (х)| 5.График функции у = | f |(х)| | 6.Выводы. 7.Список литературы.

          В первой половине XVII века начинает складываться представление о функции как о зависимости одной переменной величины от другой. Так, французские математики Пьер Ферма(1601-1665) и Рене Декарт (1596-1650) представляли себе функцию как зависимость ординаты точки кривой от её абсциссы. А английский ученый Исаак Ньютон(1643-1727) понимал функцию как изменяющуюся в зависимости от времени координату движущейся точки. Историческая справка

          Слово «модуль» произошло от латинского слова « modulus », что в переводе означает «мера». Это многозначное слово(омоним),которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках. В архитектуре — это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов. В технике — это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и .т.п. Модуль объемного сжатия( в физике)-отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.

          Каждому действительному числу можно поставить в соответствие точку числовой прямой, это точка будет геометрическим изображением данного действительного числа. Каждой точке числовой прямой соответствует её расстояние от начало отсчета, или длина отрезка, начало которого в точке начала отсчета, а конец – в данной точке. Длина отрезка всегда рассматривается как величина неотрицательная. Геометрической интерпретацией действительного числа служит вектор, выходящий из начала отсчета и имеющий конец в точке, изображающей данное число. Длина этого вектора будет геометрической интерпретацией модуля данного действительного числа. Определение. Модуль числа a или абсолютная величина числа a равна a , если a больше или равно нулю и равна — a , если a меньше нуля: Геометрическая интерпретация понятия модуля |а| -а 0 а

          Исследование графиков функции: 1. График функции у = f |(х)| 2. График функции у = | f (х)| 3. График функции у = | f |(х)| | 1.Анализ изученной литературы, построение графиков функции 2.Выдвижение гипотезы 3.Проверка гипотезы 4.Доказательство 5.Выводы

          График функции у = |х| а) Если х≥0, то |х| = х и наша функция у = х, т.е. график совпадает с биссектрисой первого координатного угла. б) Если х 0; 2. Для х 0; 2. Для х 0 и симметрично отражённой частью у = f(х) при у 0, то | f (х)| = f(х), значит в этой части график функции у = | f (х)| совпадает с графиком самой функции у = f(х). Если же f(х) 0. 2. Строим вторую часть графика, т. е. построенный график симметрично отражаем относительно ОУ, т.к. данная функция четная. 3. Участки получившегося графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовываем на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

          Построить график функции у = | 2|х | — 3| 1. Строю у = 2|х | — 3 , для 2 |х| — 3 > 0 , | х | >1,5 т.е. х 1,5 а) у = 2х — 3 , для х > 0 б) д ля х 0 б) д ля х 0. 2) Строю прямую, симметричную построенной относительно оси ОУ. 3) Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, отображаю симметрично относительно оси ОХ. Сравнивая оба графика, видим что они одинаковые.

          у = | х ² – 5|х| | 1. Строю у = х ² – 5 | х| , для х ² – 5 |х| > 0 т.е. х > 5 и х 0 б) д ля х 0 б) д ля х 0. б) Строю часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ в) Часть графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовываю на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ. Сравнивая оба графика, видим что они одинаковые.

          3. у =| |х| ³ — 2 | 1). Строю у = |х| ³ — 2 , для |х| ³ — 2 > 0 , x> и x 0 б) д ля х 0 б) д ля х 0. б) Строю часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ в) Часть графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовываю на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ. Сравнивая оба графика, видим что они одинаковые.

          Заключение При выполнении исследовательской работы я c делал такие выводы: — сформировал алгоритмы построения графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины; — приобрел опыт построения графиков таких функций, как: у = f |(х)|; у = | f (х)|; у = |f |(х)||; — научился работать с дополнительной литературой и материалами, производить отбор научных сведений; выдвигал гипотезы и доказала истинность гипотез, сделал выводы; — приобрел опыт выполнения графических работ на компьютере.

          Для построения графика функции у = f |(х)|: 1.Построить график функции у = f (х) для х>0; 2.Построить для х 0. 2. Строим вторую часть графика, т. е. построенный график симметрично отражаем относительно ОУ 3. Участки получившегося графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовываем на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ. Выводы

          у = f |(х)| у = | f (х)| у = | f |(х)| | у = f (х), х>0 Построить часть для х 0 Выводы

          Список литературы: И. М.Гельфанд, Е.Г. Глаголева. Функции и графики. Издательство «Наука» Р.А. Калнин. Алгебра и элементарные функции. Издательство «Наука» М.К. Потапов, С.Н. Олехник. Конкурсные задачи по математики, Москва. «Наука» Ю. Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк. Дополнительные главы к школьному учебнику. Москва, «Просвещение».

          Популярное:

          • Если квартиранты не освобождают квартиру Спасибо, риэлтор с вами скоро свяжется! — Что делать, если мы сдали квартиру без договора, а жильцы не платят уже два месяца и отказываются выезжать? Поможет ли полиция? Татьяна Мамонтова - частный риэлтор в Москве 8-903-170-13-84 […]
          • Оформить шенген в польшу Для краткосрочных поездок до 90 дней для россиян в Польшу в 2018 году потребуется получение Шенгенской визы категории C. Если вы планируете посещать несколько стран Шенгенской зоны, то польскую визу нужно делать только в том случае, если […]
          • Криптопро ключ в реестр База знанийTry 2 Fix beta КриптоПро: Узнать ключ установленной программы в реестре Многие из наших клиентов до сих пор пользуются версией КриптоПро CSP 3.6, в которой лицензионный ключ был спрятан от глаз пользователей (в отличие от […]
          • 7 федеральный закон о рекламе 7 федеральный закон о рекламе Федеральный закон Российской Федерации от 13 марта 2006 года № 38-ФЗ (текст по состоянию на 02.02.2017 г.) Глава 5. ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАДЗОР В СФЕРЕ РЕКЛАМЫ И ОТВЕТСТВЕННОСТЬ ЗА НАРУШЕНИЕ ЗАКОНОДАТЕЛЬСТВА […]
          • Сайт лисичанского городского суда лисичанский городской суд сайт Онлайн юрист Дома юриста Горбатенко Олег Володимировичтел: 7-33-43 Заступник Голови суду Березін Андрій Григорійовичтел: 7-36-84 Керівник апарату Старікова Марина Михайлівнател: 7-33-00 Заступник керівника […]
          • Прокурор звание Какие звания есть в прокуратуре Российской Федерации Согласно ныне действующему закону о прокуратуре РФ, лица, работающие в учреждении этого направления, получают определенные звания. Различные чины присваиваются на всю жизнь согласно […]
          • Кбк госпошлины в гибдд Госпошлина за регистрацию ТС Актуально на: 26 июня 2017 г. Образец квитанции на госпошлину в ГИБДД Государственная регистрация транспортных средств (ТС) относится к юридически значимым действиям, за которые налоговым законодательством РФ […]
          • Правило как узнать площадь Площадь фигур Две фигуры называют равными, если одну их них можно так наложить на другую, что эти фигуры совпадут. Площади равных фигур равны. Их периметры тоже равны. Площадь квадрата Для вычисления площади квадрата нужно умножить его […]