Правило параллелепипеда для сложения трех

Правило параллелепипеда для сложения трех

Глава IV

ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ

§ 3. КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ

(уроки 60-62)

Урок 60. Компланарные векторы. Правило параллелепипеда

1) ввести определение компланарных векторов;

2) рассмотреть признак компланарности трех векторов и правило параллелепипеда, сложение трех некомпланарных векторов.

I. Организационный момент

II. Постановка целей и мотивация урока

III. Объяснение нового материала

Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. Любые два вектора компланарны; три вектора, среди которых два коллинеарные, также компланарны (объясните почему).

На рис. 1 изображен параллелепипед.

Векторы — компланарны, так как, если отложить от точки О вектор, равный то получится вектор а векторы лежат в плоскости ОСЕ. — некомпланарны, так как вектор не лежит в плоскости ОАВ. Признак компланарности 3-х векторов: если вектор можно разложить по векторам то есть представить в виде: (х, у — некоторые числа), то векторы — компланарны.

Доказательство: Пусть не коллинеарные (рис. 2) (если коллинеарные — компланарность очевидна). Отложим отточки О векторы: и лежат в плоскости ОАВ. В плоскости ОАВ лежат и векторы и лежит в той же плоскости. Что и требовалось доказать. Обратное утверждение: если векторы компланарны, а векторы некомпланарны, то вектор можно разложить по векторам то есть причем коэффициенты х и у определяются единственным образом.

Доказательство: (самостоятельно) на основании теоремы о разложении вектора по двум неколлинеарным векторам.

1) — компланарны (по условию).

Если их отложить от точки А, то они будут лежать в одной плоскости.

2) Построим параллелограмм ABCD :

3) коллинеарные аналогично

4) что и требовалось доказать (единственность коэффициентов х, у доказать самостоятельно дома).

Правило параллелепипеда (для сложения трех некомпланарных векторов).

Дано: (рис. 3).

IV. Формирование знаний и умений

Устно — № 355 а) да; б) нет; в) да; г) нет.

Дано: (рис. 4).

1) Доказательство:

2) — компланарны — ?

согласно признаку компланарности, векторы компланарны.

Решение упражнений № 359 a )

V. Подведение итогов

(по вопросам 13, 14, 15, стр. 92)

№ 358, 359 (б); доп. 368, (а, б)

Ответ к д/з № 358

№ 359 б)

№ 368 а) б)

Правило параллелепипеда. Разложение вектора

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Правило параллелепипеда

Для правила сложения трех векторов рассмотрим следующую задачу.

Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Доказать, что $\overrightarrow+\overrightarrow+\overrightarrow=\overrightarrow$

Доказательство.

Воспользуемся свойством правила треугольника сложения двух векторов $\overrightarrow+\overrightarrow=\overrightarrow$, получим:

Так как $\overrightarrow=\overrightarrow,\ \ \overrightarrow=\overrightarrow$

Из этой задачи получаем следующее правило для нахождения сложения трех векторов. Чтобы найти сумму трех векторов $\overrightarrow,\overrightarrow\ и\ \overrightarrow$ нужно от произвольной точки $O$ отложить векторы $\overrightarrow=\overrightarrow$, $\overrightarrow=\overrightarrow$ и $\overrightarrow=\overrightarrow$ и построим параллелепипед на этих векторах. Тогда вектор диагонали $\overrightarrow$ и будет суммой этих трех векторов. Это правило называется правилом параллелепипеда для сложения трех векторов.

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Вспомним сначала, какие векторы называются компланарными.

Два вектора, которые параллельны одной плоскости называются компланарными.

Произвольный вектор $\overrightarrow

$ можно разложить по трем некомпланарным векторам $\overrightarrow,\ \overrightarrow$ и $\overrightarrow$ с единственными коэффициентами разложения.

Математически это можно записать следующим образом

Существование: Пусть нам даны три некомпланарных вектора $\overrightarrow,\ \overrightarrow$ и $\overrightarrow$. Выберем произвольную точку $O$ и построим следующие векторы:

\[\overrightarrow=\overrightarrow,\ \overrightarrow=\overrightarrow,\ \overrightarrow=\overrightarrow\ и\ \overrightarrow

=\overrightarrow\]

Рассмотрим следующий рисунок:

Произведем следующие дополнительные построения. Проведем через точку $P$ прямую, которая будет параллельна вектору $\overrightarrow$. Пусть эта прямая пересекает плоскость $OAB$ в точке $P_1$. Далее, проведем через точку $P_1$ прямую, которая будет параллельна вектору $\overrightarrow$. Пусть эта прямая пересекает прямую $OA$ в точке $P_2$ (смотри рисунок выше).

Так как векторы $\overrightarrow$ и $\overrightarrow$ коллинеарны, то

Так как векторы $\overrightarrow$ и $\overrightarrow$ коллинеарны, то

Так как векторы $\overrightarrow$ и $\overrightarrow$ коллинеарны, то

Тогда, получаем, что

Существование разложения доказано.

Единственность: Предположим противное. Пусть существует еще одно разложение вектора $\overrightarrow

$ по векторам $\overrightarrow,\ \overrightarrow$ и $\overrightarrow$:

Вычтем эти разложения друг из друга

Из этого получаем

Теорема доказана.

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Презентация на тему: Компланарные векторы. Правило параллелепипеда

Тема урока:Компланарные векторы. Правило параллелепипеда.

Цели урока: — усвоить определение компланарных векторов;- рассмотреть признак компланарности трёх векторов;- рассмотреть правило параллелепипеда сложения трёх некомпланарных векторов;- научиться применять полученные знания при решении задач.

Определение Векторы называются компланарными, если при откладывании от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.Иначе: векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.

Признак компланарности трёх векторов

Правило параллелепипеда Для сложения трех некомпланарных векторов можно пользоваться так называемым правилом параллелепипеда.

Домашнее задание:п.39, 40№ 358

Тема урока: Разложение вектора по трем некомпланарным векторам.

Цели урока — изучить теорему о разложении вектора по трём некомпланарным векторам;- научиться применять полученные знания при решении задач.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Если вектор представлен в виде:где x, y, z – некоторые числа, то говорят, что вектор разложен по векторам , и .Числа x, y, z называются коэффициентами разложения.

Теорема. Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Векторы коллинеарны, поэтому существуют числа х, у, z такие, что .

В классе: № 360 (а)Домашнее задание:п.41 № 360 (б), № 368

Демо вариант

Геометрическая комбинация «цилиндр — призма»

Цилиндр можно описать около прямой призмы, если ее основание — многоугольник, около которого можно описать окружность. При этом ради­ус цилиндра равен радиусу этой окружности.

Ось цилиндра лежит на одной прямой с высотой призмы, соединяющей центры окружностей, описанных около оснований. При этом боковые ребра призмы являются образующими цилиндра и также равны .

Цилиндр можно вписать в прямую призму, если ее основание — многоугольник, в который можно вписать окружность. При этом радиус цилиндра равен радиусу этой окружности.

Ось цилиндра лежит на одной прямой с высотой призмы, соединяющей центры окружностей, вписанных в основания. При этом образующие цилиндра, соединяющие соответствующие точки касания, лежат на боковых гранях призмы и также равны .

Геометрическая комбинация «конус-пирамида»

Конус называется описанным около пирамиды, если его вершина совпадает с вершиной пирамиды, а основание конуса описано около основания пирамиды. При этом пирамида называется вписанной в конус.

Свойства конуса, описанного около

Конус можно описать около пирамиды, если ее основание — многоугольник, около которого можно описать окружность, а высота пирамиды проходит через центр этой окружности.

Радиус основания конуса равен радиусу этойокружности, а высоты конуса и пирамиды совпадают. При этом боковые ребра пирамиды являются образующими конуса.

Конус называется вписанным в пирамиду, если его вершина совпадает с вершиной пирамиды, а основание конуса вписано в основание пирамиды. При этом пирамида называется описанной около конуса.

Конус можно вписать в пирамиду, если ее основание — многоугольник, в который можно вписать окружность, а высота пирамиды проходит через центр этой окружности. Радиус основания конуса равен радиусу этойокружности, а высоты конуса и пирамиды совпадают. При этом высоты боковых граней пирамиды являются образующими конуса.

Геометрическая комбинация «шар — цилиндр»

Цилиндр называется вписанным в шар, если его основания являются сечениями шара. При этом шар называется описанным около цилиндра.

Шар можно описать около любого прямого кругового цилиндра. Центр шара лежит на середине высоты цилиндра, соединяющей центры его оснований.

Осевое сечение цилиндра является прямоугольником, вписанным в большой круг шара.

Радиус шара , радиус цилиндра и высота цилиндра связаны соотношением: .

Цилиндр называется описанным около шара, если шар касается оснований цилиндра в их центрах и боковой поверхности цилиндра по окружности большого круга шара, параллельной основаниям цилиндра. При этом шар называется вписанным в цилиндр.

Шар можно вписать только в равносторонний цилиндр (т. е. в цилиндр, в котором высота равна диаметру основания). Центр шара лежит на середине высоты цилиндра, соединяющей центры его оснований.

Осевое сечение цилиндра является квадратом, в который вписан большой круг шара. Радиус шара равен радиусу цилиндра и составляет половину высоты цилиндра : .

Геометрическая комбинация «шар — конус»

Конус называется вписанным в шар, если вершина конуса лежит на поверхности шара, а его основание является сечением шара. При этом шар называется описанным около конуса.

Свойства конуса, вписанного в шар

Шар можно описать около любого конуса. Центр шара лежит на оси конуса и является центром окружности, описанной около осевого сечения конуса.

Радиус шара , радиус основания конуса и высота конуса связаны соотношением: .

Замечание. В некоторых задачах, связанных с конусом, вписанным в шар, необходимо рассматривать два случая: (центр шара лежит внутри конуса) и (центр шара лежит на продолжении высоты конуса вне конуса). В случае центр шара является центром основания конуса.

Конус называется описанным около шара, если шар касается основания конуса в его центре и боковой поверхности конуса по окружности, параллельной основанию конуса. При этом шар называется вписанным в конус.

Шар можно вписать в любой конус. Центр шара лежит на оси конуса и является центром окружности, вписанной в осевое сечение конуса.

Радиус шара , радиус основания конуса и высота конуса связаны соотношением: .

Определение призмы, вписанной в шар

Призма называется вписанной в шар, если все ее вершины лежат на поверхности шара.

При этом шар называется описанным около призмы.

Шар можно описать около прямой призмы, если около ее оснований можно описать окружности. Центр шара лежит на середине высоты призмы, соединяющей центры этих окружностей.

При решении задач обычно рассматривают сечение полуплоскостью, проходящей через центр шара и боковое ребро призмы.

Радиус шара , высота призмы и радиус окружности, описанной около основания призмы, связаны соотношением: .

Призма называется описанной около шара, если все ее грани касаются поверхности шара. При этом шар называется вписанным в призму.

Шар можно вписать в прямую призму, если в ее основания можно вписать окружности, а высота призмы равна диаметрам этих окружностей. Центр шара лежит на середине высоты призмы, соединяющей центры этих окружностей. При решении задач обычно рассматривают сечение полуплоскостью, проходящей через центр шара и перпендикулярной к боковой грани призмы.

Радиус шара равен радиусу окружности, вписанной в основание призмы, и составляет половину высоты призмы : .

Пирамида называется вписанной в шар, если все ее вершины лежат на поверхности шара. При этом шар называется писанным около пирамиды.

пирамиды, вписанной в шар

Шар можно описать около любой правильной пирамиды. Центр шара лежит на прямой, содержащей высоту пирамиды, и совпадает с центром окружности, описанной около равнобедренного треугольника, боковой стороной которого является боковое ребро пирамиды, а высотой — высота пирамиды. Радиус шара равен радиусу этой окружности.

При решении задач обычно рассматривают сечение полуплоскостью, проходящей через центр шара и боковое ребро пирамиды.

Радиус шара , высота пирамиды и радиус окружности, описанной около основания пирамиды, связаны соотношением: .

Замечание. В некоторых задачах, связанных с пирамидой, вписанной в шар, необходимо рассматривать два случая: (центр шара лежит внутри пирамиды) и (центр шара лежит на продолжении высоты пирамиды вне пирамиды). В случае центр шара совпадает с основанием высоты пирамиды.

Пирамида называется описанной около шара, если все ее грани касаются поверхности шара. При этом шар называется вписанным в пирамиду.

Шар можно вписать в любую правильную пирамиду. Центр шара лежит на высоте пирамиды и совпадает с центром окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, боковой стороной которого является апофема правильной пирамиды, а высотой — высота пирамиды. Радиус шара равен радиусу этой окружности.

При решении задач обычно рассматривают сечение полуплоскостью, проходящей через центр шара и апофему пирамиды.

Радиус шара , высота пирамиды и радиус окружности, вписанной в основание пирамиды, связаны соотношением:

ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ

1. Понятие вектора в пространстве

Вектором называется отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой концом.

Вектор, начало и конец, которого совпадают, называется нулевым.

Все обозначения для векторов в пространстве совпадают с аналогичными обозначениями на плоскости.

Определение длины вектора

Длиной (абсолютной величиной, модулем) ненулевого вектора называется длина отрезка, изображающего вектор.

Длина нулевого вектора считается равным нулю.

Определение коллинеарных сонаправленных и противоположно направленных векторов

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Векторы и называются сонаправленными, если они коллинеарны и лучи исонаправлены.

Векторы и называются противоположно направленными, если они коллинеарны и лучи инесонаправлены.

Докажите, что точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда векторыиколлинеарны.

Определение равных векторов

Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны: .

Опорная задача (о векторе равном данному)

От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

2. Действия с векторами

Правила сложения векторов

для коллинеарных векторов

1. Правило треугольника: .

Для любых трех точек имеет место равенство.

2. Правило параллелограмма (для двух неколлинеарных векторов): .

3. Правило многоугольника (для нескольких векторов): .

Если произвольные точки, то

.

Свойства сложения векторов

Для любых векторов :

1) (переместительный закон);

2) (сочетательный закон);

3) .

Определение противоположных векторов

Два ненулевых вектора называются противоположными, если они противоположно направлены и их длины равны.

— противоположные векторы, .

Определение разности векторов

Разностью векторов называется вектор, сумма которого с векторомравна вектору:.

Правила вычитания векторов

1. Правило треугольника:

Если уменьшаемое и вычитаемое – векторы с общим началом, то вектор разности стягивает их концы и направлен от конца вычитаемого к концу уменьшаемого.

2.Сложение уменьшаемого с вектором, противоположным вычитаемому: .

Опорная задача (условие коллинеарности двух векторов)

Если векторы коллинеарны и, то существует число такое, что .

3. Компланарные векторы

Определение компланарных векторов

Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.

Замечание. Понятие компланарности является пространственным аналогом понятия коллинеарности.

Свойства компланарных векторов

1. Любые два вектора компланарны.

2. Любые три вектора, из которых два являются коллинеарными, компланарны.

3. Любые три вектора, из которых хотя бы один – нулевой, компланарны.

4. Если векторы компланарны, то существует плоскость, параллельная каждой из прямых, содержащих эти векторы.

Опорная задача (критерий компланарновти трех векторов)

Если вектор можно разложить по векторам, т.е. представить в виде, гденекоторые числа(коэффициенты разложения), то векторы компланарны.

И обратно: если векторы компланарны, а векторынеколлинеарны, то векторможно разложить по векторам. Причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

(для сложения трех некомпланарных векторов)

Вектором – суммой трех некомпланарных векторов является направленная диагональ параллелепипеда, построенного на трех данных векторах как на ребрах: .

Замечание. Правило параллелепипеда является пространственным аналогом правила параллелограмма для сложения двух векторов на плоскости.

Определение разложения вектора

Если вектор представлен в виде,

где некоторые числа, то говорят, что вектор разложен по векторам . Числа называют коэффициентами разложения.

Замечание. Говорят также, что вектор являетсялинейной комбинацией векторов .

Теорема (о разложении вектора по трем некомпланарным векторам)

Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Замечание. Любые три некомпланарных вектора называют базисом пространства, а числа координатами вектора в этом базисе.

Опорная задача (формула Эйлера для точки пересечения медиан треугольника)

Если – точка пересечения медиан треугольника , а – произвольная точка пространства, то

Опорная задача (о делении диагонали параллелепипеда на три равные части)

Диагональ параллелепипеда проходит через точки пересечения медиан треугольника и , и делится этими точками на три равные части.

МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ

1. Координаты точки и координаты вектора

Прямоугольная система координат в пространстве образована тремя попарно перпендикулярными прямыми (осями координат), на каждой из которых выбрано направление и единица измерения отрезков, проходящими через одну точку пространства (начало координат).

начало координат; ось абсцисс; ось ординат; ось аппликат.

Плоскости , проходящие через попарно взятые оси координат, называются координатными плоскостями.

Начало координат разделяет каждую из осей на два луча — положительную полуось (ее направление совпадает с направлением оси) и отрицательную полуось (ее направление противоположно направлению оси).

абсцисса точки ;

ордината точки ;

аппликата точки .

Обозначение. Координаты точки указывают после ее обозначения в круглых скобках в таком порядке: абсцисса — ордината — аппликата, т. е. . Начало координат – .

Популярное:

  • 3 закон дж-ленца тепень участия среды в образовании магнитного поля характеризуется абсолютной магнитной проницаемостьюμасреды, равной , μr– относительная магнитная проницаемость. В системе СИ единицей μ0и μаявляется 1 генри/метр = 1 Гн/м, где 1 Гн = […]
  • Разрешение opengl Пропорциональность отображаемых объектов. Разрешение экрана Подскажите рабочий метод, который позволяет сохранять пропорции фигуры в зависимости от разрешения экрана пользователя. (к примеру квадрат должен оставаться квадратом) Добавлено […]
  • Налог на недвижимость ставка 2014 Установлены новые ставки налога на имущество физических лиц на 2014 год 18 декабря 2013 года депутаты городской Думы одобрили новые ставки налога. Итак, в 2014 году налог будет уплачиваться с суммарной инвентаризационной стоимости […]
  • Основные законы распределений Основные законы распределения случайных величин Нормальное распределение Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон распределения с параметрами а и а, если ее плотность вероятности /(*) имеет вид (2.20) Кривая нормального […]
  • Карты с разрешением map Физическая карта России с разрешением 10350 на 5850 пикселей Super Ultra HD quality Здесь можно посмотреть на физическую карту России в Super Ultra HD качестве и громадном разрешении 10350 на 5850 пикселей (более 60 мегапикселей) — это […]
  • Поводы для развода Причины разводов в семье Причины распада семей. Почему не удалось создать счастливую семью? Причины развода в семье - тема хоть и наболевшая, но ещё совсем молодая, т.к. стала актуальной всего несколько десятилетий назад. По данным […]
  • Минимальный пенсия 2018 апрель Размер минимальной пенсии в России в 2018 году Так как основным доходом пожилых людей, как правило, является пенсия, то вопрос размера минимального пособия интересует большое число граждан. Часто чиновники дают довольно туманные ответы, […]
  • Влияют ли неоплаченные штрафы Что будет если не оплатить штраф ГИБДД: разбираемся вместе С вопросом уплаты штрафа рано или поздно сталкивается любой водитель. Ситуация может повернуться и таким образом, что не получается своевременно погасить задолженность. Поэтому […]