Законы распределения показателей надежности

Законы распределения показателей надежности как случайной величины

Экспоненциальный (показательный) закон. В основном периоде эксплуатации (период II, рис. 4.1) отказы происходят от случайных факторов (попадание посторонних предметов, сочетание внешних факторов и др.) и носят внезапный характер. Время же проявления отказа не связано с преды-

дущей наработкой изделия. Интенсивность отказов для этого периода может быть принята величиной постоянной (рис. 4.2, а).

Тогда вероятность безотказной работы по уравнению (4.10)

Плотность распределения отказов

Среднее время безотказной работы

Экспоненциальный закон распределения отказов, выраженный формулами (4.14) и (4.17), справедлив для описания потока отказов с постоянной интенсивностью. Понятие потока отказов применяют для восстанавливаемых в процессе эксплуатации изделий. Величина ср T для потока отказов пред-

ставляет среднюю наработку на один отказ.

Рис. 4.2. Графики распределения случайных величин f (t) и показателей

надежности – вероятности безотказной работы P(t) и интенсивности отказов λ(t) при рас-

пределениях: a – экспоненциальном; б – нормальном; в – Вейбулла

Закон нормального распределения показателей надежности. Закон применим для описания изменений показателей отказов, вызванных изнашиванием деталей, т. е. периода III по графику (рис. 4.1) и выражается кривыми зависимости показателей от времени (рис. 4.2, б).

Вероятность отказа Q (t)= F( t).

Вероятность безотказной работы

Закон Вейбулла. Распределение Вейбулла используют для определения

показателей надежности главным образом в первый период эксплуатации

(период приработки), а также в ряде случаев периода III (график на рис. 4.1).

Распределение характеризуется функциями:

плотности распределения (график на рис. 4.2, в):

вероятности безотказной работы (график на рис. 4.2, в):

1.3. Законы распределения отказов

Возможны два пути вычисления показателей надежности неремонтируемых объектов по данным об отказах:

вычисление экспериментального распределения наработки до отказа;

вычисление параметров теоретического распределения наработки до отказа.

В качестве теоретических распределений наработки до отказа могут быть использованы любые применяемые в теории вероятностей непрерывные распределения.

Из теории надежности известно, что случайное время наступления отказов может быть описано математическими законами распределения случайных величин, что как раз и делает науку о надежности строгой.

В основе инженерных методов расчета надежности, учитывающих внезапные отказы, положен экспоненциальный закон распределения, в методиках расчета, учитывающих влияние параметрических отказов – нормальный закон.

В пользу применения простейших законов распределения можно привести ряд соображений. Во-первых, для целого ряда компонентов и систем эти законы находят статистическое подтверждение. Кроме того, многие виды распределения с ростом числа компонентов или увеличением времени испытаний аппаратуры асимптотически стремятся к простейшим законам. Наконец, вероятностные показатели чаще всего используются для сравнительной оценки надежности проектируемых систем, и привлечение простых моделей к инженерным расчетам наиболее оправданно.

Если принять, что структурная надежность объектов в основном определяется катастрофическими отказами, то естественно предположить, что интенсивность отказов будет падать, как это изображено на рис.4,а, за счет устранения дефектных элементов и мест некачественной сборки.

Параметрические отказы характеризуют надежность конструктивно-эксплуатационных показателей объектов, что обуславливает рост интенсивности параметрических отказов (рис. 4. б) по мере того, как под влиянием внешних условий и внутренних дестабилизирующих факторов происходит разрегулирование аппаратуры и износ ее деталей.

Примем, что отказы обеих групп не зависят между собой. Тогда общая надежность объекта будет равна p(t)=pn*pnn, а суммарная интенсивность отказов имеет вид рис.1.4,в, что очень близко к картине развития отказов в реально функционирующей аппаратуре.

Именно поэтому при исследовании надежности самых разнообразных объектов обращаются к небольшому кругу известных распределений.

1. Распределение Пуассона.Характеризует появление редких событий. Вероятность появления отказовза времяtвыражается следующей зависимостью:

2. Экспоненциальное распределение.Используется чаще других распределений, так как типично для сложных объектов, состоящих из многих элементов с распределениями наработки. При постоянстве интенсивности отказов дает простые расчетные формулы

Зависимость между распределением Пуассона

и экспоненциальным показана на рис. 1.5.

3.Усеченное нормальное распределение.Распределение, полученное из нормального (гауссовского) ограничением только положительными значениями:

f(t)=c*f(t), где -плотность неусеченного распределения; с – нормирующий множитель, находимый из условия, что площадь под кривой распределения равна 1.

4. Гамма-распределение. Распределение Пуассона и гамма распределение рассматриваются во взаимсвязи, поскольку они оба характеризуют одинаровые просессы. Только в первом случаае в качестве переменной раввматриваются отказы, а во втором – время. Для гамма — распределения в – среднее время между отказами;

а — число отказов; Г(а) – гамма-функция, равная, когдаа–1 – положительное число.

Распределение Вейбула.

Это распределение эмпирическое, получено в результате исследования широкого класса распределений сроков службы

Вид кривых различных законов распределения показан на рис.1.6.

Вопросы для самоконтроля

Какие основные состояния объектов различают в теории надежности, раскрыть эти понятия.

Что такое отказ? Как можно классификцировать отказы?

Какие группы объектов можно выделить, различающихся показателями надежности?

Что такое функции надежности и ненадежности? Перечислите их основные свойства.

Что такое условная вероятность безотказной работы и плотность распределения наработки до отказа? Чем они отличаются друг от друга.

Раскрыть понятие средней наработки наработки до отказа.

Перечислить основные законы распределения отказов. Привести кривые законов распределения.

Основные законы распределения, используемые в теории надежности

3.1.1 Экспоненциальный закон распределения

Экспоненциальный закон распределения называемый также основным законом надеж­ности, часто используют для прогнозирования надежности в период нормальной эксплуата­ции изделий, когда постепенные отказы еще не проявились и надежность характеризуется внезапными отказами. Эти отказы вызываются неблагоприятным стечением многих обстоя­тельств и поэтому имеют постоянную интенсивность. Экспоненциальное распределение на­ходит довольно широкое применение в теории массового обслуживания, описывает распре­деление наработки на отказ сложных изделий, время безотказной работы элементов радио­электронной аппаратуры.

Приведем примеры неблагоприятного сочетания условий работы деталей машин, вы­зывающих их внезапный отказ. Для зубчатой передачи это может быть действием макси­мальной нагрузки на наиболее слабый зуб при его зацеплении; для элементов радиоэлек­тронной аппаратуры — превышение допустимого тока или температурного режима.

Когда за случайную величину принимается время работы объекта t, вероятность того, что изделие на протяжении времени t будет находиться в работоспособном состоянии, равна

, (31)

где — интенсивность отказов объекта для экспоненциального распределения, ;

— время работы объекта.

Значение функции представлены в приложении А таблица А.1.

Вероятность отказа за время определяется по формуле

, (32)

где — вероятность безотказной работы изделие на протяжении времени t.

Плотность вероятности отказов находим по формуле

. (33)

График экспоненциального распределения основных характеристик надежности представлен на рисунке 13.

Средняя наработка до отказа определяется по формуле

. (34)

Дисперсия времени работы до возникновения отказа:

. (35)

Среднеквадратическое время работы:

. (36)

Время возникновения первичных отказов может быть расположено на оси времени так, что суммарный поток отказов сложного изделия становится близким к простейшему, т. е. с постоянной интенсивностью отказов.

Рисунок 13 – Экспоненциальное распределение основных количественных характеристик надежности

Гамма-распределение является двухпараметрическим распределением. Оно занимает важное место в теории надежности. Плотность распределения имеет ограничение с одной стороны (0 ≤ х 1 — монотонно возрастающей. Это обстоятельство дает возможность подбирать для опытных данных наиболее подходящие параметры и , с тем чтобы уравнение функции распределения наилучшим образом совпадало с опытными данными.

Распределение Вейбулла основных количественных характеристик надежности представлены на рисунке 15.

Этот закон применим для отказов устройства, состоящего из последовательно соединенных дублированных элементов и других подобных случаев.

Средняя наработка до отказа определяется из следующего выражения

, (46)

где — значения гамма-функции, представлены в приложение Б таблица Б.1.

Математическое ожидание случайной величины равно

. (47)

Дисперсия случайной величины равна

. (48)

Рисунок 15 – Распределение Вейбулла основных количественных характеристик надежности

3.1.4 Нормальное распределение

Нормальный закон распределения часто называют законом Гаусса. Этот закон играет важную роль и наиболее часто используется на практике по сравнению с другими законами распределения.

Основная особенность этого закона состоит в том, что он является предельным зако­ном, к которому приближаются другие законы распределения. В теории надежности его ис­пользуют для описания постепенных отказов, когда распределение времени безотказной ра­боты в начале имеет низкую плотность, затем максимальную и далее плотность снижается.

Распределение всегда подчиняется нормальному закону, если на изменение случайной величины оказывают влияние многие, примерно равнозначные факторы.

Нормальное распределение основных количественных характеристик надежности представлены на рисунке 16.

Плотность распределения отказов описывается формулой

, (49)

где — средняя наработка до отказа;

— среднее квадратическое отклонение времени безотказной работы.

Вероятность отказа за время можно описать по формуле

. (50)

Значение функции распределения определяется формулой

(51)

где ,

— вероятность отказа.

Вероятность безотказной работы за время t:

. (52)

Значения табулированы и представлены в приложении В таблица В.1.

Параметр представляет собой математическое ожидание случайной величины оцениваемой по формуле

. (53)

Среднее квадратическое отклонение случайной величины оценивается по формуле

(54)

Рисунок 16 — Нормальное распределение основных количественных характеристик надежности

3.1.5 Распределение Рэлея

Распределение Рэлея основных количественных характеристик надежности представлены на рисунке 17.

Распределение Рэлея — непрерывное распределение вероятностей с плотностью описываемой формулой

(55)

(56)

где — масштабный параметр, .

Также как распределение Вейбулла или γ-распределение, распределение Рэлея пригодно для описания поведения изнашивающихся или стареющих изделий.

Частота отказов (функция плотности распределения вероятности отказов) определяется

. (57)

Вероятность безотказной работы вычисляется из выражения:

, (58)

Интенсивность отказов определяется как

(59)

Средняя наработка до отказа составит

. (60)

Рисунок 17 — Распределение Рэлея основных количественных характеристик надежности

Для того, чтобы оценить ресурс, необходимо авторизоваться.

Рассмотрена концепция надежности технических систем и производственной безопасности как составной части техногенной безопасности. Приведены основные термины и определения надежности технических систем, указаны основные опасности технических систем, обоснована актуальность проблемы безопасности с точки зрения ее социальноэкономической значимости. Рассмотрены основные положения теории надежности технических систем и техногенного риска. Приведены математические формулировки, используемые при оценке и расчете основных свойств и параметров надежности технических объектов, рассмотрены элементы физики отказов, структурные схемы надежности технических систем и их расчет, сформулированы основные методы повышения надежности и примеры использования теории надежности для оценки безопасности человеко-машинных систем. Рассмотрена методология анализа и оценки техногенного риска, приведены основные качественные и количественные методы оценки риска, методология оценки надежности, безопасности и риска с использованием логико-графических методов анализа, критерии приемлемого риска, принципы управления риском, рассмотрены примеры использования концепции риска в инженерной практике. Учебное пособие подготовлено на кафедре «Инженерная экология» Пензенского государственного университета архитектуры и строительства и предназначено для студентов специальности 330200 «Инженерная защита окружающей среды». Оно может быть использовано при подготовке студентов других инженерных специальностей, изучающих дисциплину «Безопасность жизнедеятельности».

Показатели надежности систем

Анализ надежности автоматических систем и ее состав­ляющих может быть разделен на две задачи: статическую и дина­мическую. Надежность системы (при заданной схеме и конструкции) в основном зависит от двух параметров:

— требуемого времени безотказной работы,

— условий эксплуатации системы.

Когда эти параметры фиксируются, то рассматривается стати­ческая задача, которая базируется на основных положениях теории вероятностей.

При статическом подходе надежность характеризуется числом подобно тому, как динамические звенья автоматической системы в установившемся режиме характеризуются коэффициентом пере­дачи. Указанная аналогия позволит пользоваться при анализе надежности системы ее структурными представлениями, что на­ряду с наглядностью упрощает также составление уравнений надежности и их анализ.

Когда требуемое значение интервала времени безотказной работы или условия эксплуатации системы не фик­сируются при анализе надежности, возникает динамическая за­дача. Основным математическим аппаратом при решении дина­мической задачи наряду с классической теорией вероятностей является теория случайных процессов. Основные зависимости и уравнения динамической задачи становятся более сложными, чем в статической задаче, поэтому решать ее удобно с помощью преобразований Лапласа, Меллина, z-преобразования.

Применение для решения динамических задач теории надеж­ности указанных преобразований позволяет, так же как и в стати­ческой задаче, пользоваться структурными методами. Обычно с решением динамической зада­чи связывается надежность восстанавливаемых систем.

Динамическая задача дает возможность также разработать критерии надежности систем или ее отдельных составляющих. Учитывая, что надежность системы является вероятностной харак­теристикой, для разработки критериев можно использовать функ­ции распределения вероятностей в зависимости от рассматривае­мого динамического параметра или моменты функций распределе­ния вероятностей.

Функции распределения вероятностей представляют наиболее полную информацию о надежности системы. При этом в зависи­мости от целей исследования, особенностей рассматриваемой системы могут применяться интегральные, дифференциальные или условные функции распределения вероятностей.

Показателями надежности называются количественные характеристики одного или нескольких свойств, составляющих надежность системы. Выбор тех или иных показателей продиктован видом исследуемой системы. В теории надежности различают восстанавливаемые и невосстанавливаемые системы. К невосстанавливаемым относят системы, восстановление которых непосредственно после отказа считается нецелесообразным или невозможным, а к восстанавливаемым – в которых проводится восстановление непосредственно после отказа.

Для невосстанавливаемых систем, как правило, ограничиваются показателями безотказности. Эти же показатели описывают системы, в принципе подлежащие восстановлению после отказов, но поведение которых целесообразно рассматривать до момента первого отказа. К их числу, например, можно отнести системы, чьи отказы чрезвычайно редки и вызывают особо тяжелые последствия.

К показателям надежности невосстанавливаемых систем относятся:

1. Интегральный закон распределения времени безотказной работы;

2. Интегральный закон распределения времени до отказа;

3. Дифференциальный закон распределения времени исправной работы устройства до первого отказа;

4. Среднее время безотказной работы (средняя наработка до отказа);

5. Интенсивность отказов.

Прежде чем перейти к показателям надежности, необходимо ввести понятие наработки до отказа.

Наработка до отказа (Т) случайная величина, представляющая собой длительность работы невосстанавливаемой системы до наступления отказа. Для большей части систем наработка до отказа измеряется единицами времени, но она может измеряться и числом включений, срабатываний, циклов. Очевидно, что для систем, работающих без отключений (кроме отказов), наработка до отказа совпадает с временем безотказной работы.

Основным показателем для количественной оценки безотказности элемента, аппаратуры, приборов и АСУ является вероятность безотказной работы P(t) в заданном интервале времени наработки t. Например, Р (1000) =0,99 означает, что из множества элементов данного вида 1% откажет раньше 1000 ч, или что для одного элемента его шансы проработать безотказно 1000 ч составляют 99%. Чем меньше наработка, тем больше P(t). Показатель P(t) полностью определяет безотказность невосстанавливаемых элементов, но применим также и к восстанавливаемым элементам до первого отказа. Вероятность безотказной работы статистически определяется отношением числа элементов ni, безотказно проработавших до момента времени t, к числу элементов N работоспособ­ных в начальный момент времени t = 0

При значительном увеличении числа элементов N статистиче­ская вероятность Pi* сходится к вероятности

где T— наработка до отказа.

Так как исправная работа и отказ — события противоположные, то они связаны очевидным соотношением:

где Q(t) —вероятность отказа, или интегральный закон распреде­ления случайной величинывремени работы до отказа.

Статистическое значение вероятности отказа равно отношению числа отказавших элементов к начальному числу испытываемых элементов:

Производная от вероятности отказа f(t)=dQ(t)/dt=dP(t)/dt есть дифференциальный закон, или плотность распределения слу­чайной величинывремени исправной работы устройства до пер­вого отказа и характеризует скорость снижения вероятности без­отказной работы во времени.

Среднее время безотказной работы Тср представляет собой ма­тематическое ожидание времени работы устройства до отказа

(2.5)

Статистическая формула для расчета Тср:

(2.6)

где Ti — время безотказной работы I-го устройства; N – общее число элементов.

Интенсивностью отказов l(t) называют отношение плотности распределения времени исправной работы к вероятности безотказ­ной работы невосстанавливаемого устройства, которая взята для одного и того же момента времени t. .

где N1— начальное количество исправных элементов; N2 — количество исправных устройств через время t.

Интенсивность отказов является наиболее удобной характеристикой безотказности систем и эле­ментов. Как показывает опыт обработки статистических данных по эксплуатации различного оборудования, интенсивность отказов автоматических систем, а также отдельных элементов не может быть аппроксимирована аналитической зависимостью, соответ­ствующей только одному теоретическому закону безотказности.

Обработка большого количества информации об отказах автоматических систем позволила получить общую качественную форму зависимости интенсивности отказов от времени (рис. 2.1).

На кривой, приведенной на рис.2.1 можно выделить три ха­рактерные области:

1) начальных отказов П (область приработки);2) случайных отказов С (область зрелости); 3) отказов вследствие старения И (область стрости).

В области П интенсивность отказов сначала возрастает, дости­гает максимального значения и затем уменьшается.

Рис. 2.1 Зависимость интенсивности отказов от времени.

Верхняя граница области определяется переходом интенсивности отказов зону постоянных значений. Начальные отказы могут быть обусловлены дефектами материалов, а также главным образом производственными дефектами и некоторыми другими факторами. Причины начальных отказов можно устранить опытной эксплуатацией системы, тренировкой в специальных условиях и режимах работы в течение периода времени, называемого периодом приработки. Продолжительность периода приработки, как показывает опыт, зависит от числа дефектов в системе.

В области случайных отказов интенсивность отказов остается величиной постоянной и определяется сложностью системы, качеством применяемых элементов и режимам их работы, условиями эксплуатации и некоторыми другими факторами. Интервал времени, в течение которого интенсивность отказов постоянна, представляет основной рабочий период систем. В некоторых случаях онсовпадает с минимальным значением производственного ресурса системы. Начало роста интенсивности отказов определяет верхнюю границу области случайных отказов и нижнюю границу отказов из-за изношенности. С некоторым допуском возникновение таких отказов может служить критерием долговечности. Следует иметь в виду, что для некоторых систем долговечность может быть меньше, чем сред­нее время безотказной работы системы, рассчитанное как величина, обратная интенсивности отказов. Это обстоятельство следует учи­тывать при назначении гарантийного срока работы системы.

В области И интенсивность отказов сильно возрастает вслед­ствие износа отдельных элементов. В восстанавливаемых системах в области И интенсив­ность отказов имеет колебательный характер, причем амплитуда и частота колебаний зависят от долговечности отдельных элемен­тов и организации профилактических мероприятий при эксплуата­ции системы.

В расчетах надежности необходимо учитывать законы распределения случайной величины – времени работы системы до возникновения отказа. Для дискретных случайных величин применяются биномиальный закон распределения и закон Пуассона. Для непрерывных случайных величин применяются экспоненциальный закон, гамма-распределение, закон Вейбулла, нормальный закон.

Например, закон Пуассона определяет распределение числа m случайного события за время t. Используется для определения вероятности того, что в сложном устройстве за время t произой­дет п отказов.

Экспоненциальный законприменяется для анализа сложных изделий, прошедших период приработки, а также для систем, ра­ботающих в тяжелых условиях под воздействием механических и климатических нагрузок. Типовые элементы радиоэлектроники аппаратуры подчиняется экспоненциальному закону распределения времени отказов в области внезапных отказов с l -кривой (рис. 2.2). Вероятностные характеристики отказов определяются формулами:

(2.9)

Для экспоненциального закона Тср=0=1/l и удовлетворяются начальные условия Р(0)=1; Q(0)=0, т. е. отчет времени t начинается с момента выяснения исправности изделия.

Графики изменения показателей надежности при экспоненциальном распределении представлены на рис. 2.2.

Рис. 2.2. Показатели надежности при экспоненциальном (А) и нормальном (Б) законе распределения времени безотказной работы.

Основным характерным свойством экспоненциального распределения является то, что вероятность безотказной работы системы на любом интервале времени не зависит от длины этого интервала и не зависит от времени, предшествующей работы системы, т.е. от ее «возраста».

Так как для экспоненциального распределения характерно постоянство интенсивности отказов во времени, то область применения этого закона – системы и элементы, где можно не учитывать ни период приработки, и участок старения и износа (например, многие средства вычислительной техники и регулирования).

Нормальный законраспределения времени исправной работы изделия применяется дли области И l-кривой (рис. 2.1). 3акон применяется, когда отказы системы зависят от большого числа однородных по своему влиянию факторов в процессах износа, старения. Отчет времени t при нормальном законе ведут с начала эксплуатации системы. Интенсивность отказов монотонно возрастает:

; (2.10)

где s — среднеквадратичное отклонение времени безотказной работы системы.

Графики изменения показателей надежности при нормальном распределении представлены на рис. 2.2.

Нормальное распределение, в принципе, описывает поведение случайных величин в диапазоне от (-¥ ; +¥), но так как наработка до отказа является неотрицательной величиной, то используют усеченное нормальное распределение.

Распределение Вейбулла-Гнеденко применяется для описания надежности ряда электронных и механических технических средств, включая период приработки. Это двухпараметрическое распределение, где параметр k определяет вид плотности распределения, m – его масштаб. Так, при k=1 распределение Вейбулла совпадает с экспоненциальным, когда интенсивность отказов постоянна; при k.>1 интенсивность отказов возрастет; при k

Дата добавления: 2015-08-17 ; просмотров: 678 . Нарушение авторских прав

Законы распределения показателей надежности

Определим вероятность безотказной работы при наработке Tчерез функцию распределения экспоненциального закона

,

после подстановки конкретных значений получим

. Следовательно, вероятность наработки 100 час составляет 98,5 %. Среднее значение наработки может быть определено через параметр распределения λ

час.

Пример 2. Интенсивность отказов электрического элемента равна λ=10 -6 1/час. Отказы подчиняются экспоненциальному закону распределения случайной величины. Найти вероятность безотказной работы элемента в течение 10000 час.

Используем формулу для вероятности безотказной работы при экспоненциальном распределении

, следовательно, вероятность безотказной работы элементаP(10000) = 99 %.

Распределение Вейбулла.Вейбулл описал с его помощью разброс усталостной прочности стали, предела ее упругости, размер частиц копоти и др. Это распределение применяют также при описании надежности сложных технических систем.

Распределение Вейбулла является двухпараметрическим универсальным законом, так как при изменении параметров оно в пределе может описывать нормальное распределение, логарифмически нормальное распределение, экспоненциальное и др. Распределение Вейбулла характеризуется параметром масштаба λ и параметром формы α.

Функция распределения для закона Вейбулла имеет вид

,

,

где - параметр формы кривой распределения,- параметр масштаба.

Плотность вероятности распределения Вейбулла выражается зависимостью

.

Если для закона Вейбулла принят α = 1, то получим экспоненциальное распределение, которое является частным случаем распределения Вейбулла.

Графики функций распределения F(t) и вероятности безотказной работыP(t) показаны на рис. 18. При увеличении параметра формы α кривая приближается к нормальному распределению.

Графики плотности вероятности распределения Вейбулла приведены на рис. 19. Влияние параметра формы на вид кривой в этом случае выражены еще резче. При увеличении параметра форма кривой от экспоненциальной зависимости стремится к характерной для нормального распределения колоколообразной кривой.

Выбором параметров масштаба λ и формы α можно в широких пределах изменять форму кривой, что позволяет использовать закон Вейбулла для самых разных случаев математического описания надежности многих объектов.

Статистические параметры распределения Вейбулла вычисляются через параметры α и λ. Математическое ожидание для закона Вейбулла

, стандартное отклонение

,

где — гамма функция параметра α. Для непрерывной величины гамма-функция

.

Для вычисления значения гамма-функции Г(n + ), где n — целое число,- дробное число при 2 ≤n≤ 6 можно использовать более простую формулу

.

При n 6 значения Г(n+) можно находить по формуле

Рассмотрим пример использования распределения Вейбулла для расчета надежности.

Пример 1. Определить вероятность безотказной работы генератора в течение 1000 час, если его наработка на отказ описывается распределением Вейбулла с параметрами α = 2 и λ = 6,667*10 -7 .

Вероятность безотказной работы равна

. Следовательно, вероятность безотказной работы генератора в течение 1000 час составляет 51,3 %.

Пример 2. Случайная наработка изделия до отказа распределена по закону Вейбулла с параметрами,. Найти вероятность безотказной работы изделия при заданной наработкечас.

Используем формулу для расчета вероятности безотказной работы при распределении Вейбулла

.

Следовательно, вероятность безотказной работы в течение 300 час составляет 91,39 %.

Пример 3. Для предыдущего примера найти наработку до отказа при вероятности безотказной работы 99 %.

Используем уравнение вероятности безотказной работы

откуда,

час.

Гамма – распределение.Распределение характеризуется двумя параметрами: λ – параметр масштаба и α – параметр формы. Оно имеет ограничение с одной стороны (0t). Если параметр формы кривой- целое число, то гамма-распределение списывает время, необходимые для появления событий (например, отказов) при условии, что они независимы и появляются с постоянной интенсивностью. Это распределение описывает наработку системы с резервированием, время восстановления, а также распределение постепенных отказов вследствие износа.

Кривые распределения изменяют свою форму в широких пределах при изменении параметров λ и α. Функция гамма-распределения

, F(t) ≡ 0 при t ‹ 0.

Плотность вероятности гамма-распределения (0,0)

приt≥ 0,приt -3 .

Используем выражение для вероятности безотказной работы

=. Для вычисления выражения можно использовать таблицы гамма-распределения или компьютерные программы. Ниже показанMathcad-документ для вычисления вероятности

В результате вычисления получим P(1000) = 0,981= 98,1 %.

Распределение Пуассона.Распределение используется для дискретных случайных величин. Описывает появление внезапных отказов в сложных системах и распределение времени восстановления, число отказов однотипного оборудования за определенный интервал времени и т.п.

Функция распределения Пуассонадля целочисленного аргумента m = 0,1,2 .

приt0..

Плотность вероятности дискретного распределения

,

где t — фиксированный интервал времени,0. Чем меньше значение, тем ассиметричнее распределение. Пример графика для распределения Пуассона показан на рис. 22. График построен для λ = 0,5.

.

Математическое ожидание и дисперсия распределения Пуассона

,

.

Популярное:

  • Правила пожарной безопасности здания Статья 80. Требования пожарной безопасности при проектировании, реконструкции и изменении функционального назначения зданий, сооружений и строений Статья 80. Требования пожарной безопасности при проектировании, реконструкции и изменении […]
  • Статья 8 закона 159-фз Статья 8. О внесении изменений в Федеральный закон "О развитии малого и среднего предпринимательства в Российской Федерации" См. комментарии к статье 8 настоящего Федерального закона Внести в Федеральный закон от 24 июля 2007 года N […]
  • Закон спб о социальный кодекс Закон спб о социальный кодекс О внесении изменений в Закон Санкт-Петербурга "Социальный кодекс Санкт-Петербурга" и Закон Санкт-Петербурга "О форме предоставления мер социальной поддержки и дополнительных мер социальной поддержки по […]
  • Субсидия билеты В Крым - за 2,5 тысячи рублей: как продаются льготные авиабилеты в Симферополь Продажа дешевых авиабилетов в Крым, часть цены которой субсидируется государством, начавшаяся 15 мая, проходит успешно, заявили опрошенные ТАСС туроператоры и […]
  • Пособие для боцмана и матроса В книге рассматриваются вопросы, связанные с практической работой матроса и боцмана современного морского транспортного судна; излагаются основы устройства морских судов с кратким описанием их мореходных качеств и основные положения из […]
  • Правила многочлена Сложение и вычитание многочленов При сложении и вычитании многочленов важно уметь использовать правила раскрытия скобок. Рассмотрим два случая раскрытия скобок: когда перед скобками стоит знак «+»; когда перед скобками стоит знак […]
  • Нотариус новый буг Нотариус новый буг Первая Николаевская государственная нотариальная контора Адрес 54001 г. Николаев, ул. Шевченко, 42 Телефон (0512) 47-81-54, 35-21-12, 47-98-84, 36-22-66,72-22-54, 36-21-85 Вторая Николаевская государственная […]
  • Буклеты по пособиям Буклет: "Пособия по материнству и детству" Адрес: 690990 г. Владивосток ул. Муравьева-Амурского, 1-б;e-mail: info@ro25.fss.ru ГОРЯЧИЕ ЛИНИИ ПО ВЫПЛАТЕ ПОСОБИЙ 692331, г. Арсеньев, ул. Островского, 10-А тел. (42361) 4-47-24, 3-02-36 […]